微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 (+1a-()>-∑sn,(n).,a) f∈Pr+1 0(B)4054()deB d )(+1)an,(x)∑eB,1…,s1)()dAA…Ad 1 a(x° 1 (r!)2(r+1)!aa (E)dB∧d∧……∧d d(s (E)dB∧d de 5.计算 ∑m,rr…au)Fdp8 ∈P rIs F"(dr dro drs 1∑mh(F到8(F=(F)A(F rIs 12Lie导数 121Lie导数的定义 定义1.2(Lie导数).Lie导数定义为 (x)(g;⑧91)(x)-((1⑧91)(E,t) 更:j()(G1②G)(x,t)一:()(G③G)(E微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 = 1 (r!)2(r + 1)! ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∑ σ∈Pr sgnσ   ∑ γˆ∈Pr+1 sgnγˆ ( ∂xs ∂ξγˆ(B) ∂xσ(i1) ∂ξγˆ(A1) · · · ∂xσ(ir) ∂ξγˆ(Ar) ) (ξ)  dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 (r!)2(r + 1)! ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∑ σ∈Pr sgnσ ∂(x s , xσ(i1) , · · · , xσ(ir) ) ∂(ξB, ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 (r!)2(r + 1)! ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∑ σ∈Pr sgn2σ ∂(x s , xi1 , · · · , xir ) ∂(ξB, ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r!(r + 1)! ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∂(x s , xi1 , · · · , xir ) ∂(ξB, ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar . 5. 计算 F ∗ (Φ ∧ Ψ) = F ∗ ( (r + s)! r!s! A (Φ ⊗ Ψ) ) = F ∗ ( 1 r!s! ∑ σ∈Pr+s sgnσΦσ(i1)···σ(ir)Ψσ(j1)···σ(js)dx i1 ⊗ · · · ⊗ dx ir ⊗ dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js ) = 1 r!s! [ ∑ σ∈Pr+s sgnσΦσ(i1)···σ(ir)Ψσ(j1)···σ(js)F ∗ (dx i1 ⊗ · · · ⊗ dx ir ) ⊗ F ∗ (dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js ) ] = 1 r!s! [ ∑ σ∈Pr+s sgnσΦi1···irΨj1···jsF ∗ (dx σ−1 (i1) ⊗ · · · ⊗ dx σ−1 (ir) ) ⊗ F ∗ (dx σ−1 (j1) ⊗ · · · ⊗ dx σ−1 (js) ) ] = 1 r!s! [ ∑ σ∈Pr+s sgnσΦi1···irΨj1···js Iσ ( F ∗ (dx i1 ⊗ · · · ⊗ dx ir ) ⊗ F ∗ (dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js ) )] = 1 r!s! ∑ σ∈Pr+s sgnσIσ [(F ∗Φ) ⊗ (F ∗Ψ)] = (F ∗Φ) ∧ (F ∗Ψ). 1.2 Lie 导数 1.2.1 Lie 导数的定义 定义 1.2 (Lie 导数). Lie 导数定义为 LV Φ ,    lim t→0 Φ i ·j (x)(gi ⊗ g j )(x) − Φ i ·j (ξ)( > gi ⊗ > g j )(ξ, t) t , lim t→0 Φ i ·j (x)( < Gi ⊗ < Gj )(x, t) − Φ i ·j (ξ)(Gi ⊗ Gj )(ξ) t . 6