微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 此处x=+Vt+o(t)∈Rm,亦即x2=+Vt+o(t)∈R,而且 axk 01):=m(,1)=(61)(x)=B(∈,9()∈TE g(,1=ak(,g(a)∈T azd(a, t)sock 0∑ Gi(a,t) axk (a, t)ack(S) (c,t)Gk()∈Tx∑, G(,t) (E,t)G(x)∈T∑ F-ly=vii()2(&&1,TEM F中=的Bm()(x)918g∈81TM 更=重GA8GB∈1TM 业=vjg1g∈81TM G=ds∈T*M G1=Gk∈T dr∈TM 6=c+∈r2, 0 ∈TM 微分流形 =(x)g∈T;M 9=m()gk∈TM 图2:Lie导数示意 Lie导数可理解为:流形上某一点的张量(整体形式)通过同态扩张至另一点,以此实现流形 上不同点处张量的变化率,且现同态扩张由流形上的流动确定,如图2所示.值得指出,一些重要 的著作将Le导数认识为物质导数.按力学观点,张量物质导数为介质质点所携带的张量(整体 形式)随时间的变化率,而Lie导数按其数学定义并不等同于物质导数的定义 性质1.2.对于定常场,有 IV更=Lv(的G1⑧C)(E) avl ()2(G8C)(E 此处,x(E,t) a(,)=V(x,t) O Arnold V I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer-Verlag, New York, 1985. Dubrovin B A, Fomenko A T, Novikov S P. Modern Geometry-Methods and Applications Vol 1, 2. Beijing: Beijing World Publishing Corporation, 1999微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 此处 x = ξ + V t + o(t) ∈ R m, 亦即 x i = ξ i + V i t + o i (t) ∈ R, 而且 > gi (ξ, t) := ∂Σ ∂ξi (ξ, t) = ∂xk ∂ξi (ξ, t) ∂Σ ∂xk (x) = ∂xk ∂ξi (ξ, t)gk (x) ∈ TxΣ, > g j (ξ, t) := ∂ξj ∂xk (ξ, t)g k (x) ∈ TxΣ; < Gi(x, t) := ∂ 0 Σ ∂xi (x, t) = ∂ξk ∂xi (x, t) ∂ 0 Σ ∂ξk (ξ) = ∂ξk ∂xi (x, t)Gk(ξ) ∈ TxΣ, < Gj (x, t) := ∂xj ∂ξk (ξ, t)Gk (x) ∈ TxΣ. 微分流形 V0 GA = ∂ ∂ξA ∈ TξM GA = dξA ∈ T ∗ ξ M ◦ Φ = Φ A · BGA ⊗ GB ∈ ⊗1,1TξM F −1 ∗ Ψ = Ψ i · j ∂ξA ∂xi (x) ∂xj ∂ξB (ξ)GA ⊗ GB ∈ ⊗1,1TξM < Gi = ∂ξk ∂xi Gk ∈ TξM < Gj = ∂xj ∂ξk Gk ∈ T ∗ ξ M Vt gj = ∂ ∂xj ∈ TxM g j = dx j ∈ T ∗ xM > gi = ∂xk ∂ξi (ξ)gk ∈ TxM > g j = ∂ξj ∂xk (x)g k ∈ T ∗ xM F∗ ◦ Φ = Φ A · B ∂xi ∂ξA (ξ) ∂ξB ∂xj (x)gi ⊗ g j ∈ ⊗1,1TxM Ψ = Ψ i · jgi ⊗ g j ∈ ⊗1,1TxM O ξ 1 ξm ξ O x 1 xm x 图 2: Lie 导数示意 Lie 导数可理解为: 流形上某一点的张量 (整体形式) 通过同态扩张至另一点, 以此实现流形 上不同点处张量的变化率, 且现同态扩张由流形上的流动确定, 如图2所示. 值得指出, 一些重要 的著作将 Lie 导数认识为物质导数➀. 按力学观点, 张量物质导数为介质质点所携带的张量 (整体 形式) 随时间的变化率, 而 Lie 导数按其数学定义并不等同于物质导数的定义. 性质 1.2. 对于定常场, 有 LV Φ = LV (Φ i ·jGi ⊗ Gj )(ξ) = [ ∂Φi ·j ∂ξl (ξ)V l − ∂V i ∂ξl (ξ)Φ l ·j + ∂V l ∂ξj (ξ)Φ i ·l ] (Gi ⊗ Gj )(ξ), 此处, x˙ i (ξ, t) = ∂xi ∂t (ξ, t) = V i (x, t). ➀ Arnold V I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer-Verlag, New York, 1985. Dubrovin B A, Fomenko A T, Novikov S P. Modern Geometry-Methods and Applications Vol.1,2. Beijing: Beijing World Publishing Corporation, 1999. 7