·62* 北京科技大学学报 第34卷 )T.即完整的一步首先是单腿支撑阶段，然后是 x'+6x+1=S(x+6x4), 支撑腿切换阶段.x:为第k步的初始状态 r+x+1≈S(x)+aSe (2)跨步函数(step-to-step function)S面，为将 ar Sx r=x 当前步的初始状态映射到下一步初始状态的函数. 忽略高阶误差，有 该函数是一个综合了单腿支撑阶段和支撑腿切换阶 段的多变量非线性函数 6x.=0S(x) (5) ax =t (3)不动点x·,为机器人初始状态集合中的一 为了后文描述的方便，定义稳定性矩阵 点，满足x=S(x).如果以x为机器人的初始 .从式(5) 状态，经过一步以后，机器人还回到此状态，即产 (4)稳定性矩阵A.A=Sx ax x=r 生周期的步行 中可以看出该矩阵实际上是误差的增益矩阵.只要 下面在不动点x附近对跨步函数S进行局部 该矩阵的所有特征值均位于单位圆内，那么误差会 线性化. 逐步缩小，即步行是稳定：而如果有特征值位于单 x'=5(x'), 位圆外，则步行是不稳定的 x=x°+6x4, 在此以2.1节中的典型步行为例，对步行的稳 xE+1=S(x4), 定性予以说明.稳定性矩阵 -2.05156 -0.29636 0.46561 -0.59370 0.02869 0.02852 2.05156 0.29636 -0.46561 0.59370 -0.02869 -0.02852 -39.33376 3.44839 30.50317 -5.81238 0.61162 5.10267 40.36949 -3.73642 -29.47900 6.36739 -0.59743 -4.80759 42.52212 -6.76913 -35.25619 5.28699 -0.55114 -5.95256 -261.69263 24.74250 204.53424-37.62490 3.92876 34.36752 该矩阵的特征值为 因为在纯被动步行中没有任何控制，即=0， =[68.89246,-0.05672±0.64713i,0.14375,0.00898,0], 所以 可见此步行不稳定 8x=A6xk+Buk. (8) 如果控制力矩满足 4 稳定器设计 u=L6x. (9) 在机器人模型的躯干与支撑腿之间添加一个力 式中，L为全状态线性反馈控制率 矩，即动力学方程(1)的右端变为(-u,0,)'.并 那么综合式(8)和式(9)，步行稳定器的设计 假设该力矩在步行周期内保持恒定不变.对跨步函 问题就转化为现代控制理论中设计反馈控制率使得 数进行局部线性化有 离散线性系统稳定的经典问题 x°=S(x,u), 在此以2.1节中的典型步行为例，采用极点配 u4=u+64, 置的方法设计控制器. xr+δxk+1=S(x+6xu+6u)， 设定期望的极点 x+6x+1≈S(x,w)+ p=00.10.20.30.40.5], aS(x,u） x4+aS,| 控制矩阵 ax x=r*,m=n* du r=x*,a=* B=0.01653-0.016530.82701 -0.8367-0.968765.633别T, (6) 求解得到的反馈控制率 式中，u为不动点x对应的控制力矩 L=[-45.031745.179535.86010-6.323600.674106.00108], 上一节中纯被动模型的线性化，可以看成是式 稳定性矩阵 (6)在u=0,δ=0时的特例.定义控制矩阵B, r-1.30740-0.38196-0.1269-0.489200.01755-0.070651 B=iS(x,u) 1.307400.38196 0.12699048920-0.01755 0.07065 ,B主要反映了控制力矩的 du x=r°，M=m -209201-0.835160.84649-0.582690.054130.13971 A'= 变化对误差的影响。 2828110.581600.41630109563-0.035460.19530 忽略高阶无穷小项，线性化式(6)可以表示为 -1.10259-1.75141-0.51654-0.839030.10190-0.13898 8xk+1=Aδx4+B64- (7) -66308-4.59091.44679-L.812270.1111 038143」北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 θ · 3 ) T ． 即完整的一步首先是单腿支撑阶段，然后是 支撑腿切换阶段． xk 为第 k 步的初始状态． ( 2) 跨步函数( step-to-step function) S ［1］，为将 当前步的初始状态映射到下一步初始状态的函数． 该函数是一个综合了单腿支撑阶段和支撑腿切换阶 段的多变量非线性函数． ( 3) 不动点 x* ，为机器人初始状态集合中的一 点，满足 x* = S( x* ) ． 如果以 x* 为机器人的初始 状态，经过一步以后，机器人还回到此状态，即产 生周期的步行． 下面在不动点 x* 附近对跨步函数 S 进行局部 线性化． x* = S( x* ) ， xk = x* + δxk， xk + 1 = S( xk ) ， x* + δxk + 1 = S( x* + δxk ) ， x* + δxk + 1≈S( x* ) + S( x) x x = x* δxk ． 忽略高阶误差，有 δxk + 1 = S( x) x x = x* δxk ． ( 5) 为了后文描述的方便，定义稳定性矩阵． ( 4) 稳定性矩阵 A． A = S( x) x x = x* ． 从式( 5) 中可以看出该矩阵实际上是误差的增益矩阵． 只要 该矩阵的所有特征值均位于单位圆内，那么误差会 逐步缩小，即步行是稳定; 而如果有特征值位于单 位圆外，则步行是不稳定的． 在此以 2. 1 节中的典型步行为例，对步行的稳 定性予以说明． 稳定性矩阵 A = － 2． 051 56 － 0． 296 36 0． 465 61 － 0． 593 70 0． 028 69 0． 028 52 2． 051 56 0． 296 36 － 0． 465 61 0． 593 70 － 0． 028 69 － 0． 028 52 － 39． 333 76 3． 448 39 30． 503 17 － 5． 812 38 0． 611 62 5． 102 67 40． 369 49 － 3． 736 42 － 29． 479 00 6． 367 39 － 0． 597 43 － 4． 807 59 42． 522 12 － 6． 769 13 － 35． 256 19 5． 286 99 － 0． 551 14 － 5． 952 56 － 261． 692 63 24． 742 50 204． 534 24 － 37． 624 90 3． 928 76 34．                  367 52 ， 该矩阵的特征值为 λ=［68. 89246，－0. 05672 ±0. 64713i，0. 14375，0. 00898，0］， 可见此步行不稳定． 4 稳定器设计 在机器人模型的躯干与支撑腿之间添加一个力 矩，即动力学方程( 1) 的右端变为( － u，0，u) T ． 并 假设该力矩在步行周期内保持恒定不变． 对跨步函 数进行局部线性化有 x* = S( x* ，u* ) ， uk = u* + δuk， x* + δxk + 1 = S( x* + δxk，u* + δuk ) ， x* + δxk + 1≈S( x* ，u* ) + S( x，u) x x = x* ，u = u* δxk + S( x，u) u x = x* ，u = u* δuk ． ( 6) 式中，u* 为不动点 x* 对应的控制力矩． 上一节中纯被动模型的线性化，可以看成是式 ( 6) 在 u* = 0，δu = 0 时的特例． 定义控制矩阵 B， B = S( x，u) u x = x* ，u = u* ，B 主要反映了控制力矩的 变化对误差的影响． 忽略高阶无穷小项，线性化式( 6) 可以表示为 δxk + 1 = Aδxk + Bδuk ． ( 7) 因为在纯被动步行中没有任何控制，即 u* = 0， 所以 δxk + 1 = Aδxk + Buk ． ( 8) 如果控制力矩满足 uk = － Lδxk ． ( 9) 式中，L 为全状态线性反馈控制率． 那么综合式( 8) 和式( 9) ，步行稳定器的设计 问题就转化为现代控制理论中设计反馈控制率使得 离散线性系统稳定的经典问题． 在此以 2. 1 节中的典型步行为例，采用极点配 置的方法设计控制器． 设定期望的极点 pd =［0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5］， 控制矩阵 B =［0. 016 53 －0. 016 53 0. 827 01 －0. 833 67 －0. 968 76 5. 663 32］T ， 求解得到的反馈控制率 L =［－45. 031 74 5. 179 55 35. 860 10 －6. 323 60 0. 674 10 6. 001 08］， 稳定性矩阵 A' = － 1. 307 40 － 0. 381 96 － 0. 126 99 － 0. 489 20 0. 017 55 － 0. 070 65 1. 307 40 0. 381 96 0. 126 99 0. 489 20 － 0. 017 55 0. 070 65 － 2. 092 01 － 0. 835 16 0. 846 49 － 0. 582 69 0. 054 13 0. 139 71 2. 828 11 0. 581 60 0. 416 30 1. 095 63 － 0. 035 46 0. 195 30 － 1. 102 59 － 1. 751 41 － 0. 516 54 － 0. 839 03 0. 101 90 － 0. 138 98 － 6. 663 08 － 4. 590 99 1. 446 79 － 1. 812 27 0. 111 11 0                  . 381 43  ， ·62·