第1期 冯帅等：有躯干双足机器人被动行走及其稳定器 ·63· 真实极点 M1=(m.+m+m)(L+)2+m, p=00.100000.200150.298970.401760.49912]. M2=-m1(l.+,)lcos(01-02), 可见反馈控制器的引入，能够很好地稳定模型 M3=m.(L.+l)l.cos(01-03）, 的步行.示例中真实极点与期望极点的误差来自于 M21=-m1(L2+l)lcos(01-02), 线性化后的系统与原系统的差别. M22=ml6,M23=0, 需要注意的是，因为机器人的初始状态必须满 M31=m.(l.+l4)l.cos(01-03), 足01+02-2y=0,所以式(8)表示的系统不完全可 M2=0,Mg=m, 控，系统必有一不可控的极点，且该极点值为0. N,=-m(L.+l)lsin(01-02)g+m.(L,+ 本文稳定器与文献0]中PD控制器的区别在 于，本文稳定器只是在机器人初始状态出现误差时 l6)l.sin(01-03)8, 才有控制输出，因此对机器人行走产生的影响非常 N2=m(l.+l)lsin(01-02)0, 小，机器人的运动很大程度上是被动的 N3=-m.(l.+s)l.sin(a,-03)g, 5结论 G1=-(mh+m1+m.）(L.+l,）+ml.)gsin81, G2 =m lugsine2,G3=-mlgsine3. 本文研究了有躯干双足机器人的纯被动行走. 式(4)中，各矩阵详细表达式为： 研究发现该机器人模型只存在两种不稳定的步行方 「HH1 式，即没有稳定的步行方式也没有多周期的步行方 H(0*)= H H22 H2s 式。两种不稳定的步行，一种为长周期步行，一种 LHS HH3」 为短周期步行.两者主要区别在于长周期步行有摆 动腿的回收，因此其周期更长.随着机器人模型所 HH2 His] 在坡度的增加，长周期步行的周期越来越长，短周 (0）=H1 Ha H2s 期步行的周期越来越短，而两者的步长均越来越长 LHS H2H33」 且基本相同. 式中， 针对该模型的不稳定步行，本文设计了一个步 =-(m+m1+m,)(.+4)2-m+m1(亿.+ 行稳定器.该稳定器为全状态线性反馈控制器，其 4)lcos(0-02)-m.(l.+l)l.cos(01-0), 输入为机器人初始状态的误差，其输出用以控制躯 H2=ml(l.cos(0-0)-l4+l4cos(0-02*)）, 干与摆动腿之间的力矩，且该力矩在一个步行周期 H=-m.l.(l.+l.cos(0-0)+lcos(0-0)), 内保持恒定.这样就可以把稳定器的设计问题转化 H1=-m.(l.+)l.cos(01-0）, 为现代控制中反馈控制率的设计问题，进而得以解 H2=0,H=-m., 决.本文中给出了一个稳定器设计的示例。结果表 H1=m(1.+l)lcos(0-0), 明：采用此稳定器能够实现模型的稳定被动行走， 并且此稳定器能够很大程度上保证机器人步行的被 H2=-m,H3=0, H1=ml,4-(m+m.）(L,+l)2cos(0- 动性. 02）-2m(l.+l)l.cos(01-02）-m.(l.+ 附录 4)l.cos(0-0）, 本附录详细地介绍了机器人模型的动力学 Hi2 =ml, 方程 Hi3=-ml.(L.+l.cos(02-0)+l4cos(0-0), 式(1)中，各矩阵详细表达式为： H:=-m.(L.+l4)l.cos(0-0）, Mn M12 Mi] H2=0,H3=-m.,H1=m.46, M(0)=M2 M22 M2s, H2=0,H33=0. LM31M2M3g」 参考文献 N(a,0) N, ,G(0)= [1]McGeer T.Passive dynamic walking.Int J Rob Res,1990,9(2): N G 62 式中， MeGeer T.Dynamics and control of bipedal locomotion.J Theor第 1 期 冯 帅等: 有躯干双足机器人被动行走及其稳定器 真实极点 p =［0 0. 10000 0. 20015 0. 29897 0. 40176 0. 49912］． 可见反馈控制器的引入，能够很好地稳定模型 的步行． 示例中真实极点与期望极点的误差来自于 线性化后的系统与原系统的差别． 需要注意的是，因为机器人的初始状态必须满 足 θ1 + θ2 － 2γ = 0，所以式( 8) 表示的系统不完全可 控，系统必有一不可控的极点，且该极点值为 0. 本文稳定器与文献［10］中 PD 控制器的区别在 于，本文稳定器只是在机器人初始状态出现误差时 才有控制输出，因此对机器人行走产生的影响非常 小，机器人的运动很大程度上是被动的． 5 结论 本文研究了有躯干双足机器人的纯被动行走． 研究发现该机器人模型只存在两种不稳定的步行方 式，即没有稳定的步行方式也没有多周期的步行方 式． 两种不稳定的步行，一种为长周期步行，一种 为短周期步行． 两者主要区别在于长周期步行有摆 动腿的回收，因此其周期更长． 随着机器人模型所 在坡度的增加，长周期步行的周期越来越长，短周 期步行的周期越来越短，而两者的步长均越来越长 且基本相同． 针对该模型的不稳定步行，本文设计了一个步 行稳定器． 该稳定器为全状态线性反馈控制器，其 输入为机器人初始状态的误差，其输出用以控制躯 干与摆动腿之间的力矩，且该力矩在一个步行周期 内保持恒定． 这样就可以把稳定器的设计问题转化 为现代控制中反馈控制率的设计问题，进而得以解 决． 本文中给出了一个稳定器设计的示例． 结果表 明: 采用此稳定器能够实现模型的稳定被动行走， 并且此稳定器能够很大程度上保证机器人步行的被 动性． 附录 本附录详细地 介 绍 了 机 器 人 模 型 的 动 力 学 方程． 式( 1) 中，各矩阵详细表达式为: M( θ) = M11 M12 M13 M21 M22 M23 M31 M32 M          33  ， N( θ，θ · ) = N1 N2 N          3  ，G( θ) = G1 G2 G          3  ． 式中， M11 = ( mu + mh + ml ) ( la + lb ) 2 + ml l 2 a， M12 = － ml ( la + lb ) lb cos ( θ1 － θ2 ) ， M13 = mu ( la + lb ) lu cos ( θ1 － θ3 ) ， M21 = － ml ( la + lb ) lb cos ( θ1 － θ2 ) ， M22 = ml l 2 b， M23 = 0， M31 = mu ( la + lb ) lu cos( θ1 － θ3 ) ， M32 = 0， M33 = mu l 2 u， N1 = － ml ( la + lb ) lb sin ( θ1 － θ2 ) θ ·2 2 + mu ( la + lb ) lu sin ( θ1 － θ3 ) θ ·2 3， N2 = ml ( la + lb ) lb sin ( θ1 － θ2 ) θ ·2 1， N3 = － mu ( la + lb ) lu sin ( θ1 － θ3 ) θ ·2 1， G1 = － ( ( mh + ml + mu ) ( la + lb ) + ml la ) gsin θ1， G2 = ml lb gsinθ2， G3 = － mu lu gsinθ3 ． 式( 4) 中，各矩阵详细表达式为: Hn ( θ + ) = Hn 11 Hn 12 Hn 13 Hn 21 Hn 22 Hn 23 Hn 31 Hn 32 Hn           33 ， Ho ( θ － ) = Ho 11 Ho 12 Ho 13 Ho 21 Ho 22 Ho 23 Ho 31 Ho 32 Ho           33 ， 式中， Hn 11 = － ( mh + ml + mu ) ( la + lb ) 2 － ml l 2 a + ml ( la + lb ) lb cos ( θ + 1 － θ + 2 ) － mu ( la + lb ) lu cos ( θ + 1 － θ + 3 ) ， Hn 12 = ml lb ( la cos ( θ + 1 － θ + 2 ) － lb + lb cos ( θ + 1 － θ + 2 ) ) ， Hn 13 = － mu lu ( lu + la cos ( θ + 1 － θ + 3 ) + lb cos ( θ + 1 － θ + 3 ) ) ， Hn 21 = － mu ( la + lb ) lu cos ( θ + 1 － θ + 3 ) ， Hn 22 = 0， Hn 23 = － mu l 2 u， Hn 31 = ml ( la + lb ) lb cos ( θ + 1 － θ + 2 ) ， Hn 32 = － ml l 2 b， Hn 33 = 0， Ho 11 = ml la lb － ( mh + mu ) ( la + lb ) 2 cos ( θ － 1 － θ － 2 ) － 2ml ( la + lb ) la cos ( θ － 1 － θ － 2 ) － mu ( la + lb ) lu cos ( θ － 1 － θ － 3 ) ， Ho 12 = ml la lb， Ho 13 = － mu lu ( lu + la cos ( θ － 2 － θ － 3 ) + lb cos ( θ － 2 － θ － 3 ) ) ， Ho 21 = － mu ( la + lb ) lu cos ( θ － 1 － θ － 3 ) ， Ho 22 = 0， Ho 23 = － mu l 2 u， Ho 31 = ml la lb， Ho 32 = 0， Ho 33 = 0． 参 考 文 献 ［1］ McGeer T． Passive dynamic walking． Int J Rob Res，1990，9( 2) : 62 ［2］ McGeer T． Dynamics and control of bipedal locomotion． J Theor ·63·