f(a g(a) h( ∫(b)g(b)h(b)|=0 f"(5)g'(5)h(5 ff(a) g(a) h(a) 证明:令F(x)=f(b)g(b)h(b),则F(a)=f(b)=0,所以存在一个∈(anb,使 f(x)g(x)h(x) f(a g(a) h( F(5)=∫(b)g(b)h(b)=0 f(5)g(5)h( 七设函数fx)在[0,1上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,试证:至少存在一个∈(0,1),使 f'()=2f( 证明:(/"(x)2f(x)f(x)2 ∫(x)1 二边积分可得lnf(xx-1)2=c,所以 f(x)(x-1)2=e) 令F(x)=f(x)(x-1)2.由0)=1)=0知存在n∈0,1),f(n)=0.所以F(n)=F() 0,所以存在ξ∈(n1)F(5)=0.立即可得f=2(5) 八.设(x)在[x1,x]上二阶可导,且0<x1<x2,证明在(x1,x2)内至少存在一个ξ,使 =f(5)-f(5) e-ef(x,)f(2 证明:令F(x)=ef(x),G(x)=e,在[x,x2]上使用柯西定理.在(x,x2)内至少存在 2,满足 F(x2)-F(x1) ∫()-f(5) G(x2)-(x,) el-e f(x, f(x,) 九若x2>0,证明:存在一个∈(x1,x2)或(x2x1),使 (1-5)e(x1-x2) 证明:不妨假设0<x<x令F(x)=,G(x)=-,在图1,对]上使用柯西定理在(x,x) 内至少存在一个ξ,满足 F(x2)-F(x1)x2x15 (x2)-G(x1)1 立即可得x1e2-x2e=(1-5)e(x1-x2)0 )(')(')(' )()()( )()()( = hgf ξξξ bhbgbf ahagaf 证明: 令 )()()( )()()( )()()( )( xhxgxf bhbgbf ahagaf xF = , 则 F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个ξ ∈ (a, b), 使 0 )(')(')(' )()()( )()()( )(' = = ξξξ ξ hgf bhbgbf ahagaf F 七. 设函数 f(x)在[0, 1]上二阶可导, 且 f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个ξ ∈ (0, 1), 使 ξ ξ ξ − = 1 )('2 )('' f f 证 明 : ( x xf xf − = 1 )('2 )('' , xxf xf − = 1 2 )(' )('' 二边积分可得 , 所 以 ) =− cxxf 2 )1)(('ln c =− exxf 2 )1)((' 令 . 由 f(0) = f(1) = 0 知存在η ∈ (0, 1), 2 xxfxF −= )1)((')( f η = 0)(' . 所以 F(η) = F(1) = 0, 所以存在 ξ ∈ (η, 1), F ξ = 0)(' . 立即可得 ξ ξ ξ − = 1 )('2 )('' f f 八. 设f(x)在[x1, x2]上二阶可导, 且 0 < x1 < x2, 证明:在(x1, x2)内至少存在一个ξ, 使 )(')( )()( 1 1 2 1 2 1 2 ff ξξ xfxf ee ee x x xx −= − 证明: 令 , 在[x x x exGxfexF − − = ， )()()( = 1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一 个ξ, 满足 = − − )()( )()( 2 1 2 1 xGxG xFxF )(')( )()( 1 1 2 1 2 1 2 ff ξξ xfxf ee ee x x xx −= − . 九. 若x1x2 > 0, 证明: 存在一个ξ ∈ (x1, x2)或(x2, x1), 使 )()1( 1 2 21 2 1 exex xxe x x −−=− ξ ξ 证明: 不妨假设 0 < x1 < x2. 令 x xG x e xF x 1 = ， )()( = , 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2) 内至少存在一个ξ, 满足 2 2 12 12 2 1 2 1 )()( 111 )()( 2 1 ξ ξ ξ ξξ − − = − − = − − ee xx x e x e xGxG xFxF xx 立即可得 )()1( . 1 2 21 2 1 exex xxe x x −−=− ξ ξ