第三节极限的概念 习题 1.观察下列数列的变化趋势,指出它们是否有极限,若有极限,请写出其极 (1 11 (2)xn=(-1) (6) x,= In (7)0.1,0.11,0.111…,0.11…1 解(1)有极限,极限为0 (2)不存在极限 (3)有极限,极限为1 (4)不存在极限 (5)有极限,极限为1 (6)不存在极限(imxn=-∞) n→ (7)有极限,极限为1 2.用数列极限的定义证明 n2 (1)lin (2)Im→=0(a>0) H→①n 解(1) n(√m2+4+n)n 要使 4 -1<E,只要 即 于是,vE2>0取N=51,只要>N,就有2+4-<g,所以1 第三节 极限的概念 习 题 1-3 1. 观察下列数列的变化趋势, 指出它们是否有极限, 若有极限, 请写出其极 限: (1) 1 1 ( 1)n n x n − = − ; (2) 1 ( 1)n n x n = − − ; (3) 1 1 n n x n − = + ; (4) π sin 2 n n x = ; (5) 1 cos π n x n = ; (6) 1 ln n x n = ; (7) 0.1, 0.11, 0.111, , " 0.11 1 N n " 个 , . " 解 (1) 有极限, 极限为0 . (2) 不存在极限. (3) 有极限, 极限为1. (4) 不存在极限. (5) 有极限, 极限为1. (6) 不存在极限( lim n n x →∞ = −∞ ). (7) 有极限, 极限为 1 9 . 2. 用数列极限的定义证明 (1) 2 4 lim 1 n n →∞ n + = ; (2) 1 lim 0( 0) n nα α →∞ = > . 解 (1) 2 2 2 4 4 44 1 ( 4) n nn nn n nn n + +− −= = < + + . 要使 2 4 1 n n ε + − < , 只要 4 n < ε , 即 4 n ε > . 于是, ∀ > ε 0, 取 4 N [ ] ε = , 只要 n N> , 就有 2 4 1 n n ε + − < , 所以 2 4 lim n n →∞ n + =1