只要 (a>0) 于是,v>0.取N=1,只要n>N,就有1-0<,所以lm1=0 (a>0) 3.设mxn=a,证明lmxn}=l,并举例说明反之未必成立 x-lsx-a,故vE>0,欲使|x-l<E,只要|x-a 由mx=a知,对VE>0,彐N,当n>N时,xn-d<E,从而x-l <E,故imxl|=l 反之未必成立,例如xn=(-1y,显然有imx=1,但mx不存在 设数列{xn}有界, NvM 证由数列{xn}有界,故存在M>0,使|x|≤M,对一切n都成 vE>0,因为lmyn=0,所以对于6∥0,3N,当n>N时,就有 <E E M 于是xyn-0=xlyl<M5 5.用函数极限的定义证 0 证(1) 要使 -2<E,只要2x-(-3)<E,即x-( 2x+1 于是,VE>0,彐8=5,当0<x-(2 (2) 1 1 0 n n α α −= < ε , 只要 1 n ( 0) α α ε > > . 于是, ∀ > ε 0, 取 1 N [ ] α ε = , 只要 n N> , 就有 1 0 nα − < ε , 所以 1 lim n n →∞ α = 0 ( 0) α > . 3. 设 lim n n x a →∞ = , 证明 lim n n x a →∞ = , 并举例说明反之未必成立. 证 n n ∵ x − a xa ≤ − , 故∀ε > 0 , 欲使 n x a − < ε , 只要 n x a − < ε , 由 lim n n x a →∞ = 知, 对∀ > ε 0 , ∃ N , 当 n N> 时, n x a − < ε , 从而 n x − a < ε , 故 lim n n x a →∞ = . 反之未必成立, 例如: ( 1)n n x = − , 显然有 lim 1 n n x →∞ = , 但 lim n n x →∞ 不存在. 4. 设数列{xn} 有界, 又 lim 0 n n y →∞ = , 证明 lim 0 n n n x y →∞ = . 证 由数列{xn} 有界, 故存在 M > 0 , 使 n x ≤ M , 对一切 n 都成立. ∀ > ε 0 , 因为 lim 0 n n y →∞ = , 所以对于 1 0 M ε ε = > , ∃ N , 当 n N> 时, 就有 n 1 y M ε < = ε , 于是 0 nn n n xy x y M M ε −= ⋅ < ⋅ = ε , 故 lim 0 n n n x y →∞ = . 5. 用函数极限的定义证明 (1) 2 1 2 1 4 lim 2 x 2 1 x →− x − = + ; (2) sin 2 lim 0 x x →+∞ x = . 证 (1) 2 14 1 2 2 12 ( ) 21 2 x x x x − − = + = −− + . 要使 2 1 4 2 2 1 x x ε − − < + , 只要 1 2 () 2 x − − < ε , 即 1 ( ) 2 2 x ε − − < . 于是, ∀ > ε 0, 2 ε ∃ = δ , 当 1 0 () 2 2 x ε < −− < 时, 就有 2 1 4 2 2 1 x x ε − − < + , 故 2 1 2 1 4 lim 2 x 2 1 x →− x − = +