m:2-4 于是,VE>0取X=,当x>X时,就 -0<E lim sin 2x 0 6.证明:若x→+∞及x→-∞时,函数∫(x)的极限都存在且都等于A,则 lim f(x)=A 证由mf(x)=A,得ⅤE>0,彐X1>0,当x>X1时,就有f(x)-川<E 再由limf(x)=A,得对上述E>0,彐x2>0,当x<-X2时,就有f(x)-4 取X=max{x,X2},则当(>X时,有x>X或x<-X,故(x)-4<E 即limf(x)=A 7.证明:Iimf(x)存在的充分必要条件是f(x)在x处的左、右极限均存在且 相等 证必要性 如果limf(x)存在,不妨设limf(x)=A,则vE>0,彐6>0,只要0< x-x0|<6,就有(x)-4<E,特别的 当0<x-<6时,有f(x)-A<E,所以lm,f(x)=A; 当一6<x-x<0时,有(x)-4<E,所以Imf(x)=A 充分性 若limf(x)=A=limf(x),则ⅤE>0,彐6>0,只要0<x-x<61,就有 J(x)-A<E,362>0,只要-82<x-x<0,就有f(x)-4<E,取δ=min(3,2},3 (2) sin 2 1 0 x x x − ≤ . 要使 1 x < ε , 只要 2 1 x ε > , 于是, ∀ > ε 0, 取 2 1 X ε = , 当 x > X 时, 就有 sin 2 0 x x − < ε , 故 sin 2 lim 0 x x →+∞ x = . 6. 证明: 若 x → +∞ 及 x → −∞ 时, 函数 f ( ) x 的极限都存在且都等于 A , 则 lim ( ) x f x A →∞ = . 证 由 lim ( ) x f x A →+∞ = , 得∀ > ε 0, 1 ∃ X > 0 , 当 1 x > X 时, 就有 fx A ( ) − < ε ; 再由 lim ( ) x f x A →−∞ = , 得对上述ε > 0, 2 ∃ X > 0 , 当 2 x < −X 时, 就有 f ( ) x A − < ε . 取 X XX = max{ , } 1 2 , 则当 x > X 时, 有 x > X 或 x < −X , 故 fx A ( ) − < ε , 即 lim ( ) x f x A →∞ = . 7. 证明: 0 lim ( ) x x f x → 存在的充分必要条件是 f ( ) x 在 0x 处的左、右极限均存在且 相等. 证 必要性: 如果 0 lim ( ) x x f x → 存在, 不妨设 0 lim ( ) x x f x A → = , 则∀ε > 0 , 0 ∃δ > , 只要0 < 0 x − x < δ , 就有 fx A ( ) − < ε , 特别的: 当 0 0 <− < x x δ 时, 有 fx A ( ) − < ε , 所以 0 lim ( ) x x f x A → + = ; 当 0 −<− < δ x x 0 时, 有 fx A ( ) − < ε , 所以 0 lim ( ) x x f x A → − = . 充分性: 若 0 0 lim ( ) lim ( ) xx xx f x A fx → → + − = = , 则∀ε > 0 , 1 ∃δ > 0 , 只要 0 1 0 < x x − < δ , 就有 fx A ( ) − < ε , 2 ∃ > δ 0 , 只要 2 0 − <− < δ x x 0 , 就有 fx A ( ) − < ε , 取 min{ , } 1 2 δ = δ δ