第二十五讲 Sturn- liouville型方程的本征值问题 第3页 自伴算符的本征值问题具有下列几个重要的基本性质 ·性质1自伴算符的本征值必然存在.(不证) ·性质2自伴算符的本征值必为实数 证因为 取复共轭 由于L是自伴算符,所以 y'Ly-(Ly)y]dz=(A-A)/yy'dr=0 又因为/vydx≠0,所以 即证得本征值入为实数.口 性质3自伴算符的本征函数具有正交性,即对应不同本征值的本征函数一定正交 证设A和与是不相等的两个本征值,对应的本征函数为v和y, L=Ay,L=与 注意到本征值A,)为实数,于是 ML-(L)明dr=(4-A)/d 因为A≠与,所以 y i(ar)yi ()dr=0 这样就证明了本征函数的正交性.口 由于本征函数是齐次微分方程在齐次边界条件下的解,所以将本征函数乘以一个非零常数因 子仍然是本征函数.我们就可以适当选择这个常数因子,使得对于任意一个本征值λ,都有 yi()yi()dr=1 这样得到的就是一个正交归一的函数组 yi(a)yi (a)dr = 5ijWu Chong-shi ❒❮❰ÏÐ Sturm-Liouville ÑÒÓ❧♠♥♦♣q r 3 s ❢◗✵✶✲➸➺➻➼➽❽❁③ÔÕ✿Ö❸✲×➸④ØÙ • ÚÛ 1 ❢◗✵✶✲➸➺➻ÜÝÞ✫❉(➣ ❩) • ÚÛ 2 ❢◗✵✶✲➸➺➻Ü★➍✮❉ ß ❚★ Ly = λy, ➦➯àá (Ly) ∗ = λ ∗ y ∗ . â ✺ L ❅ ❢◗✵✶✷❋● Z b a [y ∗Ly − (Ly) ∗ y] dx = (λ − λ ∗ ) Z b a yy∗dx = 0. ã ❚★ Z b a yy∗ dx 6= 0 ✷ ❋● λ = λ ∗ , ❂❩ä➸➺➻ λ ★➍✮❉ • ÚÛ 3 ❢◗✵✶✲➸➺✭✮❽❁åæ④✷❂✹ç➣ ②➸➺➻✲➸➺✭✮✬✩åæ❉ ß ✦ λi ✧ λj ❅ ➣ ①è✲✾✿➸➺➻✷✹ç✲➸➺✭✮★ yi ✧ yj ✷ Lyi = λiyi , Lyj = λjyj. é✽ê➸➺➻ λi , λj ★➍✮✷✺❅ Z b a [y ∗ i Lyj − (Lyi) ∗ yj ] dx = (λj − λi) Z b a y ∗ i yjdx. ❚★ λi 6= λj ✷ ❋● Z b a y ∗ i (x)yj (x)dx = 0. ➾ë❞❩ ❬❐➸➺✭✮✲åæ④❉ â ✺➸➺✭✮❅➴➷✳✴➉➵✫➴➷▲▼◆❖③✲ì✷❋●➥➸➺✭✮í● ✬ ✿îï⑩✮❚ ➔ðÝ❅➸➺✭✮❉❶❷❞➊●ñ❍òó➾✿⑩✮❚➔✷ôä✹✺✼✽ ✬ ✿ ➸➺➻ λi ✷■❁ Z b a y ∗ i (x)yi(x)dx = 1. ➾ëä ê ✲❞❅✬✿ õö÷øùúûü ❉ Z b a y ∗ i (x)yj (x)dx = δij .