§25.1自伴算符的本征值问题 定义25.2若算符L的伴算符就是它自身,即对于该函数空间内的任意两个函数u和 恒有 (u, Lu)=(Lu, u)Ep/v Ludr=/(Lv),udz 则称L是自伴算符 例25.3在和例4完全相同的条件下,算符就是自伴算符 d dr=- dr udr udr 算符的自伴性,总是和一定的函数空间联系在一起的.通常,我们总是要求 函数定义在给定的区间上, ·函数具有足够的连续性(例如,对于二阶微分算符,就要求函数的二阶导数连续,至 少分段连续;如果是无界区间,则要求函数平方可积) 因此,实际上总是限于 Hilbert空间.并且,还要求 ·函数满足一定的边界条件,即总是局限在 Hilbert空间中的一定子空间内. 绝不能脱离边界条件的约束来讨论算符的自伴性 个算符,相对于某一类函数是自伴的,但对于另一类函数,就可能不是自伴的 例23.4设L=1过,而将边界条件取成更一般的形式 y(b)=ay(a),a为(复)常数 于是 du* 一udx dz (aa*-1)u(a)u’(a)+ ( u dr 所以只有边界条件中的a满足aa*=1时,算符i才是自伴的 定义25.3设L为自伴算符,则方程 Ly(r)= Ay(a) 称为自伴算符的本征值问题 这里没有明确写出齐次边界条件,是因为它已经隐含在自伴算符L的定义中了Wu Chong-shi §25.1 ❤ ✐❥❦❧♠♥♦♣q r 2 s ✤✥ 25.2 ✸✵✶ L ✲◗✵✶❞❅❡ ❢ ❣ ✷❂✹✺✻✭✮✯✰ ✱✲✼✽✾✿✭✮ u ✧ v ✷ ❀❁ (v, Lu) = (Lv, u) ❂ Z b a v ∗Ludx = Z b a (Lv) ∗udx, ❃❄ L ❅ t❆❇❈ ❉ ❊ 25.3 ✫✧✉ 4 ✈✇①②✲◆❖③✷✵✶ i d dx ❞❅ ❢◗✵✶❉ Z b a v ∗  i du dx  dx = −i Z b a dv ∗ dx udx = Z b a  i dv dx ∗ udx. ✵✶✲ ❢◗④✷⑤❅✧✬✩✲✭✮✯✰⑥⑦✫✬⑧✲❉⑨⑩✷❶❷⑤❅❸❹ • ✭✮✩✪✫❺✩✲❻✰❼✷ • ✭✮❽❁❑❾✲❿➀④ (✉❯✷✹✺❪➁✳✴✵✶✷❞❸❹✭✮✲❪➁➂✮❿➀✷➃ ➄ ✴➅❿➀➆❯❱❅➇▼❻✰✷❃ ❸❹✭✮➈➉➊➋) ✷ ❚➌✷➍➎❼⑤❅➏✺ Hilbert ✯✰❉➐➑✷➒❸❹ • ✭✮❏❑✬✩✲▲▼◆❖✷❂⑤❅➓➏✫ Hilbert ✯✰ ❘✲✬✩➔✯✰ ✱❉ →➣↔↕➙▲▼◆❖✲➛➜➝➞➟✵✶✲ ❢◗④❉ ✬ ✿ ✵✶✷①✹✺➠✬❴✭✮❅ ❢◗✲✷➡✹✺➢✬❴✭✮✷❞➊↔➣❅ ❢◗✲❉ ❊ 25.4 ✦ L = i d dx ✷➤➥▲▼◆❖➦➧➨✬➩✲➫➭ y(b) = αy(a), α★ (➯) ⑩✮. ✺❅ Z b a v ∗ i du dx dx = iv ∗u    b a − i Z b a dv ∗ dx u dx = i(αα∗ − 1)u(a)v ∗ (a) + Z b a  i dv dx ∗ u dx. ❋●➲❁▲▼◆❖ ❘✲ α ❏❑ αα∗ = 1 P ✷✵✶ i d dx ➳❅ ❢◗✲❉ ✤✥ 25.3 ✦ L ★ ❢◗✵✶✷❃ ➉➵ Ly(x) = λy(x) ❄ ★ ❢◗✵✶✲➸➺➻➼➽❉ ➾➚➪❁ ❬➶➹➘➴➷▲▼◆❖✷❅❚★❡ ➬➮➱✃✫ ❢◗✵✶ L ✲✩✪ ❘❐❉