第二十五讲分离变量法总结(二) Sturm-Liouville-型方程的本征值问题 §25.1自伴算符的本征值问题 定义25.1设L和M为定义在一定函数空间内的(微分)算符,若对于该函数空间内的任 意两个函数u和v,恒有 b (, Lu)= (Mv, u) 'Ludx= (Mv)", a 则称M是L的伴算符 例25.1若L=,于是 * vdx=v*u- -udx. dx la dx 所以,当u和v都满足边界条件 y(a)=y() 时,的伴算符是一 定义25.1中的算符M和L是互为伴算符,因为如果M是L的伴算符,则对于任 意函数u和v,也有 b v*Mudx=(Mu)vdx rb u*=() "udx, Ja a 所以,L也是M的伴算符 例25.2设L=2,容易证明 所以,当函数u和v都满足一、二、三类边界条件 a1y(a)+y(a)=0,a2y(b)+b2y(b)=0 (其中a12+12≠0,a22+122≠0)或周期条件 y(a)=y(), y'(a)=() 时,x2的伴算符就是它自身Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠✡☛ (✁ ) Sturm-Liouville ☞✌✍✎✏✑✒✓✔ §25.1 ✕✖✗✘✙✚✛✜✢✣ ✤✥ 25.1 ✦ L ✧ M ★✩✪✫✬✩✭✮✯✰ ✱✲ (✳✴) ✵✶✷✸✹✺✻✭✮✯✰ ✱✲✼ ✽✾✿✭✮ u ✧ v ✷❀❁ (v, Lu) = (Mv, u) ❂ Z b a v ∗Ludx = Z b a (Mv) ∗udx, ❃❄ M ❅ L ✲ ❆❇❈ ❉ ❊ 25.1 ✸ L = d dx ✷✺❅ Z b a v ∗ du dx dx = v ∗u    b a − Z b a dv ∗ dx udx. ❋●✷❍ u ✧ v ■❏❑▲▼◆❖ y(a) = y(b) P ✷ d dx ✲◗✵✶❅ − d dx ❉ ✩✪ 25.1 ❘✲✵✶ M ✧ L ❅❙★◗✵✶✷❚★❯❱ M ❅ L ✲◗✵✶✷❃ ✹✺✼ ✽ ✭✮ u ✧ v ✷❲❁ Z b a v ∗Mudx = "Z b a (Mu) ∗ vdx #∗ = "Z b a u ∗Lvdx #∗ = Z b a (Lv) ∗udx, ❋●✷ L ❲❅ M ✲◗✵✶❉ ❊ 25.2 ✦ L = d 2 dx 2 ✷❳❨❩ ❬ Z b a v ∗ d 2u dx 2 dx = h v ∗u 0 − (v ∗ ) 0u ib a + Z b a  d 2 v dx 2 ∗ udx. ❋●✷❍✭✮ u ✧ v ■❏❑✬❭❪❭❫❴▲▼◆❖ α1y(a) + β1y 0 (a) = 0, α2y(b) + β2y 0 (b) = 0 (❵ ❘|α1| 2 + |β1| 2 6= 0, |α2| 2 + |β2| 2 6= 0) ❛❜❝◆❖ y(a) = y(b), y0 (a) = y 0 (b) P ✷ d 2 dx 2 ✲◗✵✶❞❅❡ ❢ ❣ ❉