12 (x2+9)(y2+16) (3)依联合分布函数的性质知 Fx(x=Fx(x, +oo)=5+arctan, F(y)=F(+∞,y) 所以(X,Y)的边缘概率密度分别为 fr(x) f1() (4)P(x<3)=F1(3)=3,P(Y<4)=F1(4)=3 9 P(x<3<4)=F(34)=16 (5)因为 f(x, y) f(X)·f(Y) 丌(x 所以X与Y相互独立 8.设某仪器由两个部件构成,用X、Y分布表示两个部件的寿命(单位: 小时),已知(X,)的联合分布函数为 +e F(x,y) >0,y>0;, 其它 试求:(1)求(X,Y)的两个边缘分布函数; (2)求(XY)联合概率密度与边缘概率密度; (3)X与Y是否独立 (4)两个部件寿命都超过100小时的概率 解(1)当x≥0时,有 Fx(x)=F(x,+∞)=lm(1 +e 当x<0时,有F(x,y)=0. 所以(x,Y)关于X的边缘分布函数为 >0. Fr(x) 0 ≤0 类似地(X,Y)关于Y的边缘分布函数为34 ( 9)( 16) 12 2 2 2 + + =  x y ; (3) 依联合分布函数的性质知 3 arctan 1 2 1 ( ) ( , ) x F x F x X X  = + = + ， 4 arctan 1 2 1 ( ) ( , ) y F y F y Y Y  = + = + ; 所以 (X,Y) 的边缘概率密度分别为 ( 9) 3 ( ) 2 2 + = x f x X  ， ( 16) 4 ( ) 2 2 + = y f y Y  . (4) 4 3 P(X  3) = FX (3) = ， 4 3 P(Y  4) = FY (4) = ， 16 9 P(X  3,Y  4) = F(3,4) = (5) 因为 ( ) ( ) ( 9)( 16) 12 ( , ) 2 2 2 f X f Y x y f x y =  + + =  所以 X 与 Y 相互独立. 8. 设某仪器由两个部件构成，用 X 、Y 分布表示两个部件的寿命（单位： 小时），已知 (X,Y) 的联合分布函数为    − − +   = − − − + 0, 其它。 1 , 0, 0; ( , ) 0.5 0.5 0.5( ) e e e x y F x y x y x y 试求：（1）求 (X,Y) 的两个边缘分布函数； （2）求 (X,Y) 联合概率密度与边缘概率密度； （3） X 与 Y 是否独立； （4）两个部件寿命都超过 100 小时的概率。 解 （1）当 x  0 时，有 x y x y x y X F x F x e e e e 0.5 0.5 0.5( ) 0.5 ( ) ( , ) lim (1 ) 1 − − − + − →+ = + = − − + = − ； 当 x  0 时，有 F(x, y) = 0 . 所以 (X,Y) 关于 X 的边缘分布函数为     −  = − 0, 0. 1 , 0; ( ) 0.5 x e x F x x X 类似地 (X,Y) 关于 Y 的边缘分布函数为