当0≤z≤2时,有 F(=)=P(2X+Y≤z) 当z>2时,有 F()=P(2X+y<=)=ldx e dy=l( 利用分布函数法求得Z=2X+Y的概率密度函数为 0 0, f2()={1u-e-),0≤:<2 7.设(X,Y)的联合分布函数为 F(x, y)=A(B+arctan C+arctan 求:(1)常数A,B,C (2)(x,Y)的联合概率密度; (3)(x,Y)的边缘分布函数和边缘概率密度 (4)P(X<3),P(Y<4),P(X<3,y<4) (5)判断X与Y的独立性。 解(1)依分布函数的性质知 F(oo, +oo)=lim lim F(x, y)=limlim A(B+arctan C+arctan A(B+2C+= F(-a-∞)=A(B-2XC-2)=0 F(-0)=A(B-)C=AB(C-x)=F(0,-∞) 解得 丌 (2)f(xy=F(x,y)=( (a+arctan (133 当 0  z  2 时，有    − − − = +  = = − 2 0 2 2 0 2 0 ( ) (2 ) (1 ) z x z z z x y F z P X Y z dx e dy e dx ； 当 z  2 时，有    − − − = +  = = − 1 0 2 1 0 2 0 F(z) P(2X Y z) dx e dy (1 e )dx x z z x y ； 利用分布函数法求得 Z = 2X + Y 的概率密度函数为        −  −    = − − ( 1) , 2. 2 1 (1 ), 0 2; 2 1 0, 0; ( ) 2 e e z e z z f z z z Z 7. 设 (X,Y) 的联合分布函数为 ) 4 )( arctan 3 ( , ) ( arctan y C x F x y = A B + + 求： （1）常数 A, B,C ； （2） (X,Y) 的联合概率密度； （3） (X,Y) 的边缘分布函数和边缘概率密度； （4） P(X  3)， P(Y  4) ， P(X  3,Y  4) ； （5）判断 X 与 Y 的独立性。 解 （1）依分布函数的性质知 ) 1 2 )( 2 ( ) 4 )( arctan 3 ( , ) lim lim ( , ) lim lim ( arctan = + + =  + = = + + →  →+ →  →+   A B C x C x F F x y A B x x x x ＋ ＋ ＋ ) 0 2 )( 2 (−, ) = ( − − =   F － A B C ； ) (0, ) 2 ) ( 2 F(−,0) = A(B − C = AB C − = F −   ； 解得 2 1  A = ， 2  B = C = . (2) 4 1 ) 16 (1 1 ) 3 arctan 2 ( ( , ) 1 ( , ) 2 2 2  +       +   =    = y x y x x F x y f x y  