非可积方程理论 物理工程中的非线性波动现象大多由非可积方程描述。对于非可积方程,反散射理论不 再适用,孤立子摄动理论一般也不怎么有效。在此,我们讨论非可积方程的数学理论。 非可积方程的研究在最近20年来有了长足的发展。人们发现,在非可积方程中孤立波可以不 稳定。稳定的孤立波可以有 internal modes。这些 modes引起孤立波形状的长时间的振动。孤 立波的碰撞可以非常复杂(远非弹性碰撞)。孤立波还可以嵌入在波动方程的连续谱内 ( embedded solitons)。在2+1位情形,孤立波可以在横向( transverse direction)出现不稳定 性,并且可以出现 critical collapse现象。最近兴起的光波在周期介质中的传播行为也由非可 积方程刻画,并且其解(如孤立波稳定性等)也出现了很多新的有趣的现象。 下面我们用模型方程 +F(u)=0(1) 来发展非可积方程理论(这里F(0)=0)。此方程描述光孤立波在非Ker介质里的传播行为。 在一般情形下,此方程不可积。它有三个守恒量:质量P,动量M,和 Hamiltonian h M=il(u,,u)dx (3) H=[-G( 这里G(y)=F(y)。 1.孤立波的解析表达式 对于一个非线性波动方程,我们常常从它的孤立波入手。对于方程(1),它的静止的孤立 波形式为 x,==g(x; B)e 这里(x,B)为一实函数,Φ→0asx→∞,B为传播常数注意方程(1)具有 Galilean (伽利略)不变形,即从它的静止的孤立波通过 Galilean变换我们可以得到运动的孤立波: 4m()=(x-V;B2- 在一些具体情形下,解Φ(x,B)有显式的解析表达式。比如,考虑函数 FCu)=au+rul 在此情形下,当把方程(5)和(7)代入(1)中并积分一次,我们得到 这里积分常数己由条件 dΦ =0消掉。方程(8)可以由变量代换y=Φ”求解非可积方程理论 物理工程中的非线性波动现象大多由非可积方程描述。对于非可积方程，反散射理论不 再适用，孤立子摄动理论一般也不怎么有效。在此，我们讨论非可积方程的数学理论。 非可积方程的研究在最近 20 年来有了长足的发展。人们发现，在非可积方程中孤立波可以不 稳定。稳定的孤立波可以有 internal modes。这些 modes 引起孤立波形状的长时间的振动。孤 立波的碰撞可以非常复杂（远非弹性碰撞）。孤立波还可以嵌入在波动方程的连续谱内 （embedded solitons）。在 2+1 位情形，孤立波可以在横向（transverse direction）出现不稳定 性，并且可以出现 critical collapse 现象。最近兴起的光波在周期介质中的传播行为也由非可 积方程刻画，并且其解（如孤立波稳定性等）也出现了很多新的有趣的现象。 下面我们用模型方程 2 ( ) 0 (1) z xx iu + + u F u u = 来发展非可积方程理论（这里 F(0) = 0 ）。此方程描述光孤立波在非 Kerr 介质里的传播行为。 在一般情形下，此方程不可积。它有三个守恒量：质量 P，动量 M，和 Hamiltonian H： 2 * * 2 2 (2) ( ) ( ) (4 x x x P u dx M i u u u u dx H u G u dx ≡ ≡ − ≡ − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ (3) ) 这里G y ′( ) = F(y) 。 1． 孤立波的解析表达式 对于一个非线性波动方程，我们常常从它的孤立波入手。对于方程(1)，它的静止的孤立 波形式为 ( , ) ( ; ) (5) i z u x z x e β = Φ β 这里Φ( ; x β)为一实函数，Φ → 0 as x → ∞ ，β 为传播常数。注意方程(1)具有 Galilean （伽利略）不变形，即从它的静止的孤立波通过 Galilean 变换我们可以得到运动的孤立波： 1 1 2 v v 2 4 ( , ) ( v ; ) (6) i x i z i z moving u x z x z e β β − + = Φ − 在一些具体情形下，解Φ( ; x β)有显式的解析表达式。比如，考虑函数 2 2 F u( ) u u (7 σ σ = + α γ ) 在此情形下，当把方程(5)和(7)代入(1)中并积分一次，我们得到 1 2 2 2 2 2( 1) (8) 2 1 d dx α γ σ σ β σ σ Φ ⎡ ⎤ + + = Φ − Φ − Φ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + + 这里积分常数已由条件 0 x x d dx =∞ =∞ Φ Φ = = 消掉。方程(8)可以由变量代换 y σ = Φ 求解