其解为 这里A (2+o)BB (2+a) D=√,B=sgn(a)1++ B,而为自由参数 g)a 当a=1,y=0和σ=2时,解(9)退化为一般代数孤立波( Algebraic solitons) u,, (x) -2(2+a)(1+a)/a a2(1+a)x2+(2+)2y/a (11) 此孤立波在x=∞处以 power law衰减:ua(x)-|x|。 2.孤立波的线性稳定性和 internal modes 在可积方程里,孤立子一般是稳定的。实际上,它们不光稳定,连碰撞后也保持形状不 变。但在非可积方程中,孤立波不见得稳定,更不用提弹性碰撞了。即使非可积方程中的孤 立波是稳定的,其线性化算子的谱中往往也有离散的纯实数特征值(即所谓的 internal modes) 而这些 internal modes,在可积方程是没有的。 Internal modes的存在对孤立波在扰动下的发展 及孤立波的碰撞都有重大影响。这里我们讨论模型(1)中孤立波的线性稳定性及 internal modes 的产生机制 为讨论孤立波的线性稳定性,我们对孤立波(5)做微小扰动 (x)={0(x,D)+(x)-w(x)l2+'(x)+w(l31(2) 这里v(x),w(x)<1。当把此扰动解代入到方程(1)中并线性化,我们得到特征值问题 LY =Ar(13) 这里 Y≡ L L10 (15) B L1=-d2+B-F(d2)-2bF(d)(7 算子L的特征值具有一个简单对称性:如果λ为一特征值,则A,-2,-也都为特征 值。因此L的特征值总是成对或者成四出现的。另外,λ=0总是L的离散特征值,并且此 零特征值的几何重数为2,代数重数为4。其对应的两个特征函数为其解为： 1 ( ; ) (9) cosh A x B Dx σ β ⎡ ⎤ Φ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + 这里 (2 )B A σ β α + = ， D = σ β ， 1 2 2 2 (2 ) sgn( ) 1 (1 ) B σ γ α σ α β − ⎡ + ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ + ⎦ ，而 β 为自由参数。 当α =1，γ = 0和σ = 2 时，解(9)退化为一般代数孤立波（algebraic solitons）： 1 2 2 2 2 2(2 )(1 )/ ( ) (11) (1 ) (2 ) / al u x x σ σ α σ σ σ σ γ α ⎡ ⎤ − + + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + + + 此孤立波在 x = ∞ 处以 power law 衰减： 2 ( ) al u x x σ − ∼ 。 2． 孤立波的线性稳定性和 internal modes。 在可积方程里，孤立子一般是稳定的。实际上，它们不光稳定，连碰撞后也保持形状不 变。但在非可积方程中，孤立波不见得稳定，更不用提弹性碰撞了。即使非可积方程中的孤 立波是稳定的，其线性化算子的谱中往往也有离散的纯实数特征值（即所谓的 internal modes）。 而这些 internal modes，在可积方程是没有的。Internal modes 的存在对孤立波在扰动下的发展 及孤立波的碰撞都有重大影响。这里我们讨论模型(1)中孤立波的线性稳定性及 internal modes 的产生机制。 为讨论孤立波的线性稳定性，我们对孤立波(5)做微小扰动， { } * * * ( , ) ( ; ) [v( ) w( )] [v ( ) w ( )] (12) i z i z i z u x z x x x e x x e e λ λ β β − = Φ + − + + 这里 v(x x ), w( ) 1。当把此扰动解代入到方程(1)中并线性化，我们得到特征值问题 LY = λY (13) 这里 0 1 2 2 0 2 2 2 2 2 1 2 v (14) w 0 (15) 0 ( ) (16) ( ) 2 ( ) (17) Y L L L d L F dx d L F F dx β β ⎛ ⎞ ≡ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = − + − Φ = − + − Φ − Φ ′ Φ 算子 L 的特征值具有一个简单对称性：如果λ 为一特征值，则 * , , * λ − λ − λ 也都为特征 值。因此 L 的特征值总是成对或者成四出现的。另外，λ = 0 总是 L 的离散特征值，并且此 零特征值的几何重数为 2，代数重数为 4。其对应的两个特征函数为：