d (18) 两个广义特征函数为 (19) 0丿a6 并且 LY =Y. LY=Y (20) 这些特征函数及广义特征函数与解(6)的位置,相位,振幅和速度的任意性有必然的关系 算子L的连续谱很容易从冈→∞的极限下得到。其连续谱为{λ∈R,A2≥B L的离散谱一般包括如下三类特征值 A为非零实数( internal modes) λ为纯虚数(指数不稳定性) λ为复数(实部与虚部均非零)(振动不稳定性) 但对于方程(1)来说,我们实际上可以证明A只能为实数或纯虚数。为证明这一点,我们 首先将其线性化方程(13)写为如下形式: LLv=2 V (21) 注意到L算子有如下分解 L0=LL(22) (23) pp(x) 因此特征值问题(21)可以用变量代换ⅴ=Lⅴ表述为 LLLv=2(24) 显然L与互为 Hermitian,即L=(L)。因此LL1L为 Hermitian算子,从而其特征 值λ2必须为实数,也就是说A必须为纯实数或纯虚数 下面我们先考虑λ为纯实数( internal modes)的情形。容易知道,可积的NLS方程中孤 立子的线性化算子是没有 internal modes的。那么不可积的方程(1)的孤立波会不会有 internal modes呢?如果会,这些 modes是从哪里来的呢? 为回答这些问题,我们考虑扰动的NLS方程并令 F(2)=aF+sf()(8 这里E≤1为一小参数。扰动后的孤立波为:2 1 0 , , 0 Y Y d d x ⎡ ⎤ ∂Φ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ∂ Φ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (18) 两个广义特征函数为： 1 2 0 1 , (19) 1 0 2 a a x Y Y β ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ∂Φ = Φ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ ∂ 并且 1 1 2 2 , (20) LYa d = = Y LYa Yd 这些特征函数及广义特征函数与解(6)的位置，相位，振幅和速度的任意性有必然的关系。 算子 L 的连续谱很容易从 x → ∞ 的极限下得到。其连续谱为{λ ∈ ≥ \, λ β } L 的离散谱一般包括如下三类特征值 z λ 为非零实数（internal modes） z λ 为纯虚数（指数不稳定性） z λ 为复数（实部与虚部均非零）（振动不稳定性） 但对于方程(1)来说，我们实际上可以证明λ 只能为实数或纯虚数。为证明这一点，我们 首先将其线性化方程(13)写为如下形式： 2 0 1 L L v v = λ (21) 注意到 L0 算子有如下分解 0 L L L (22) + − = ( ) (23) ( ) d x L dx x ± Φ′ = ± + Φ 因此特征值问题(21)可以用变量代换 v L v + =  表述为 2 1 L L L v v λ (2 − +   = 4) 显然 L− 与 L+ 互为 Hermitian，即 。因此 † L (L ) − + = L L1L − + 为 Hermitian 算子，从而其特征 值 2 λ 必须为实数，也就是说λ 必须为纯实数或纯虚数。 下面我们先考虑λ 为纯实数（internal modes）的情形。容易知道，可积的 NLS 方程中孤 立子的线性化算子是没有 internal modes 的。那么不可积的方程(1)的孤立波会不会有 internal modes 呢？如果会，这些 modes 是从哪里来的呢？ 为回答这些问题，我们考虑扰动的 NLS 方程并令 2 2 2 F u( ) = + u ε f ( ) u (18) 这里ε 1为一小参数。扰动后的孤立波为：