由此可以依次得到 f(0)=lim f(x)-f(0) im e x =o, x→ x x→0x f(0)=lim f∫"(x)-f(0 Im x→ (k-1) (X (k-1) f(0)=lim 0 因此f(x)在x=0的 Taylor级数为 0+0x+-x2+-x3+…+xn+ 2! n 它在(-∞,+∞)上收敛于和函数Sx)=0。显然,当x≠0时, Sx)≠f(x) 这说明,一个任意阶可导的函数的 Taylor级数并非一定能收敛于 函数本身。由此可以依次得到 f ′ )0( = 0 limx→ x − fxf )0()( = 0 lim x→ 2 1 e 1 x x − = 0， f ′′ )0( = 0 limx→ x ′ − fxf ′ )0()( = 0 lim x→ 2 1 4 e 2 x x − = 0， …… )0( = k )( f 0 limx→ x fxf k k )0()( − )1( − )1( − = 0 limx→ 21 23 e 1 x k x P − − ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = 0， …… 因此 xf )( 在 x = 0 的 Taylor 级数为 " x n ++++++ " n xxx ! 0 !3 0 !2 0 00 2 3 ， 它在 −∞ +∞),( 上收敛于和函数 S(x) = 0。显然，当 x≠0 时， S(x) ≠ xf )( 。 这说明，一个任意阶可导的函数的 Taylor 级数并非一定能收敛于 函数本身