a,≤cb,,则 (1)如果∑b收敛,则∑an收敛 (2)如果∑a发散,则∑bn发散 证明:不妨设对所有n,都成立an≤cb,因此,对任意n,∑an≤C∑b如果 ∑收敛则∑b}有果因而{∑}有界得应a收敛 利用比较判别法不难得到 定理33.1:设∑an和∑bn都是正项级数,设m=1,则 →∞ 1.0<l<+∞时, b同时收敛或发散 2.如果=0,并且∑bn收敛则∑a收敛 3如果l=+∞,并且∑bn发散,则∑a发散 如果我们将收敛级数∑an的通项an构成的序列{an}看作无穷小序列,则上面定理可 表示为同阶无穷小构成的正项级数同时收敛或者同时发散:如果低阶无穷小构成的正项级数 收敛,则高阶无穷小构成的正项级数也收敛:如果高阶无穷小构成的正项级数发散,则低阶 无穷小构成的正项级数也发散 例33.1:证明∨x∈R,2in绝对收敛 证明:由lm 因此 是 2 3415}的同阶无穷小(x≠0)51 n n a £ cb , 则 （1） 如果å +¥ n=1 bn 收敛, 则å +¥ n=1 an 收敛； （2） 如果å +¥ n=1 an 发散, 则å +¥ n=1 bn 发散. 证明：不妨设对所有n , 都成立 n n a £ cb . 因此, 对任意n , å å +¥ = +¥ = £ 1 n 1 n n an c b . 如果 å +¥ n=1 bn 收敛, 则 þ ý ü î í ì å= n k bk 1 有界, 因而 þ ý ü î í ì å= n k ak 1 有界, 得å +¥ n=1 an 收敛. 利用比较判别法不难得到 定理 3. 3. 1：设å +¥ n=1 an 和å +¥ n=1 bn 都是正项级数, 设 l b a n n n = ®+¥ lim , 则 1. 0 < l < +¥时, å +¥ n=1 an 和å +¥ n=1 bn 同时收敛或发散； 2. 如果l = 0 , 并且å +¥ n=1 bn 收敛, 则å +¥ n=1 an 收敛； 3. 如果l = +¥ , 并且å +¥ n=1 bn 发散, 则å +¥ n=1 an 发散. 如果我们将收敛级数 å +¥ n=1 an 的通项 an 构成的序列{ } an 看作无穷小序列, 则上面定理可 表示为同阶无穷小构成的正项级数同时收敛或者同时发散；如果低阶无穷小构成的正项级数 收敛, 则高阶无穷小构成的正项级数也收敛；如果高阶无穷小构成的正项级数发散, 则低阶 无穷小构成的正项级数也发散. 例 3. 3. 1：证明"x Î R , å +¥ =1 3 2 sin k k k x 绝对收敛. 证明：由 x x k k k k = ÷ ø ö ç è æ ®+¥ 3 2 3 2 sin lim , 因此 þ ý ü î í ì k k x 3 2 sin 是 ïþ ï ý ü ïî ï í ì ÷ ø ö ç è æ k 3 2 的同阶无穷小（ x ¹ 0 ）