或高阶无穷小(x=0).而∑/2)4 收敛,因此∑2sin绝对收敛 例3.3.2:证明级数 SI 在p≤1时发散,p>1时收敛 证明:p1时,121.但已知调和级数1=+0,因此1=+ n 当p>1时,在+∞)上定义函数8(x)=如果x∈团n+1)定义函数f(x)为 ∫(x)=1如果x∈(1,2) f(x)= 如果x∈[2,+∞),则在[,+∞)上 0<g(x)≤f(x).但由广义积分知p>1时,f(x)dx收敛,利用广义积分的比较判别法 得厂“g()收但∑ N=」,g(x)x,因而p>1时 收敛 例3.3.3:讨论级数 的收敛性 解:令∫(x)=x-ln(1+x),则∫(0)=0,f'(x)=1 因此x>0时 1+x1+x ∫(x)>0,∫(x)单调递增。特别地,当x>0时有f(x)>f(0)=0.令x1得 1 是正项级数 利用洛必达法则,当x→0时将f(x)和x2进行比较,得Imf(x)=m1+S少 x→02x 即x→0时f(x)与x2是同阶无穷小特别地,令x=-,得{-h1+-与 同阶无穷小但已知总1收敛因此(1-1+1)收敛 k 为部分和,则52 或高阶无穷小（ x = 0）. 而 k k å +¥ = ÷ ø ö ç è æ 1 3 2 收敛, 因此å +¥ =1 3 2 sin k k k x 绝对收敛. 例 3. 3. 2：证明级数å +¥ =1 1 n p n 在 p £ 1时发散, p > 1时收敛. 证明： p £ 1时, n n p 1 1 ³ . 但已知调和级数å +¥ = = +¥ 1 1 n n , 因此å +¥ = = +¥ 1 1 n p n . 当 p > 1 时 , 在 [1,+¥) 上定义函数 p n g x 1 ( ) = 如 果 x Î[n, n + 1) . 定义函数 f (x) 为 f (x) = 1 如 果 x Î (1,2) , p x f x ( 1) 1 ( ) - = 如 果 x Î[2,+¥) , 则 在 [1,+¥) 上 0 < g( x) £ f (x) . 但由广义积分知 p > 1时 ò +¥ 1 f (x)dx 收敛, 利用广义积分的比较判别法 得 ò +¥ 1 g(x)dx 收敛, 但å ò +¥ +¥ = = 1 1 ( ) 1 g x dx n n p , 因而 p > 1时å +¥ =1 1 n p n 收敛. 例 3. 3. 3：讨论级数å +¥ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ - + 1 1 ln 1 1 n n n 的收敛性. 解：令 f (x) = x - ln(1+ x) , 则 f (0) = 0 , x x x f x + = + ¢ = - 1 1 1 ( ) 1 . 因此 x > 0 时 f ¢(x) > 0 , f (x) 单调递增. 特别地, 当 x > 0 时有 f (x) > f (0) = 0 . 令 n x 1 = , 得 0 1 ln 1 1 ÷ > ø ö ç è æ - + n n , å +¥ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ - + 1 1 ln 1 1 n n n 是正项级数. 利用洛必达法则, 当 x ® 0 时将 f (x) 和 2 x 进行比较, 得 2 1 2 1 lim ( ) lim 0 2 0 = + = ® + ® + x x x x f x x x , 即 x ® 0 时 f (x) 与 2 x 是同阶无穷小. 特别地, 令 n x 1 = , 得 þ ý ü î í ì ÷ ø ö ç è æ - + n n 1 ln 1 1 与 þ ý ü î í ì 1 2 n 是 同阶无穷小. 但已知å +¥ =1 2 1 n n 收敛, 因此å +¥ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ - + 1 1 ln 1 1 n n n 收敛. 令 å +¥ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ = - + 1 1 ln 1 1 n n n c , å= ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ = - + n k n k k s 1 1 ln 1 1 为部分和, 则