数学分析方法论选讲 问题13.5二元函数f(x,y)在点(x0,y)可微,必存在所有方向的方向导数,而且相反 方向的方向导数互为相反数。 【分析】先弄清可微与方向导数的概念。令P=√(x-x)2+(y-1)2=√Ax2+Ay2, 所谓的可微即是存在常数A、B使得 Ac-dc 这里△=f(x,y)-f(x0,y)=f(x0+Ax,y+△y)-f(x0,y) d=A(x-xo)+ B(y-yo= AAx+ bay 而沿方向b的方向导数为 lim coSco, yo t psi 【证明】设z=f(x,y)在(x0,y)可微,则由A=c+o(p),得 f(o+pcos,, yo+psin 0o)-f(xo, yo)=Apcos8+ Bpsin 0o +o(p) 由此沿6的方向导数为 af 00+ Bsin 8o 又注意到O的反方向为x+6,我们有(cos(x+6,sn(x+6)=-co,snB0), 所以可证最后的结论。 在方向导数中取O=0,即为偏导数,取=z,即得偏导数,这是在可微的 前提下,如果不可微,即使沿O=0的方向导数存在,也未必有存在。例如取 0.x≥0. f(x, y) 则沿6=0的方向导数存在,但 f(0+△x.0)-f(0,0) 不存在。一般地,我们知道,可微必可导,可微必连续,但连续与偏导数存在一般没有什数学分析方法论选讲 问题 1.3.5 二元函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 可微，必存在所有方向的方向导数，而且相反 方向的方向导数互为相反数。 【分析】先弄清可微与方向导数的概念。令 2 2 2 0 2 0 ＝ (x − x ) +(y − y ) = x +y ， 所谓的可微即是存在常数 A、B 使得 lim 0 0 =  − →  z dz 这里 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 z = f x y − f x y = f x + x y + y − f x y ， dz = A(x − x ) + B(y − y ) = Ax + By 0 0 。 而沿方向  0 的方向导数为       ( cos , sin ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 f x + y + − f x y → 。 【证明】设 z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 可微，则由 z = dz +() ，得 ( cos , sin ) ( , ) cos sin ( ) f x0 +   0 y0 +   0 − f x0 y0 = A  0 + B  0 + o  。 由此沿  0 的方向导数为 0 0 0 cos sin   A B f = +   。 又注意到  0 的反方向为  + 0 ，我们有 (cos( ),sin( )) (cos ,sin )  + 0  + 0 = −  0  0 ， 所以可证最后的结论。 在方向导数中取  0 ＝0 ，即为偏导数 x f   ，取 2 0   = ，即得偏导数 y f   ，这是在可微的 前提下，如果不可微，即使沿  0 ＝0 的方向导数存在，也未必有 x f   存在。例如取      = 1, 0, 0, 0, ( , ) x x f x y 则沿  0 ＝0 的方向导数存在，但 x f x f x f x  +  − =    → (0 ,0) (0,0) lim 0 不存在。一般地，我们知道，可微必可导，可微必连续，但连续与偏导数存在一般没有什