数学分析方法论选讲 么关系,而且问题1.35的逆命题不正确。 问题136证明f(x,y)=√x2+y2在(0,0)沿任何方向的方向导数存在且相等,但偏导 〔不存在,从而不可微。 【证明】 f(ecos 60)-f(0.0) 0 =lim =lm不存在 同理 不存在。我们亦可用问题1.3.5来证 即使有偏导数存在,各方向导数存在也未必可微。 问题137证明f(x,y)=、在(0)存在偏导数,且存在各方向导数,证明f(x,y) 在(0,0)不可微 【证明】f(00)=1mf(0+△x0)-f(09≠ls4=0 0 同理f”(0.0)=0。对方向,有 a= lim /(coso, Psin Bo)-//(0,0) coso sin Bo 另外,假定∫(x,y)在(0,0)可微,则 dz △x+ △y=0 从而im4-d 0。但 lim /(pcos, psi e) 6snl≠0 (这里Ax= Pcos,y=psin6),矛盾 从此问题的证明中我们可以看到可微要求的是更强的条件,因为可微仍是一个二元函数的数学分析方法论选讲 么关系，而且问题 1.3.5 的逆命题不正确。 问题 1.3.6 证明 2 2 f (x, y) = x + y 在 (0,0) 沿任何方向的方向导数存在且相等，但偏导 数不存在，从而不可微。 【证明】 1 0 lim ( cos , sin ) (0,0) lim 0 0 0 0 0 (0,0) = − = − =   → →           f f f 。 但 x x x x x f x x   =   + =    →  →0 2 2 0 (0,0) lim 0 lim 不存在。 同理 (0,0) y f   不存在。我们亦可用问题 1.3.5 来证。 即使有偏导数存在，各方向导数存在也未必可微。 问题 1.3.7 证明 f (x, y) = xy 在 (0,0) 存在偏导数，且存在各方向导数，证明 f (x, y) 在 (0,0) 不可微。 【证明】 0 0 lim (0 ,0) (0,0) (0,0) lim 0 0 =    =  +  −  =  →  → x x x f x f f x x x 。 同理 f y (0,0) = 0 。对方向  0 ，有 0 0 0 0 0 0 cos sin ( cos , sin ) (0,0) lim          = − =   → f f f 另外，假定 f (x, y) 在 (0,0) 可微，则 0 (0,0) (0,0)  =    +   = y y f x x f dz ， 从而 lim 0 0 =  − →  z dz 。但 cos sin 0 ( cos , sin ) lim lim 0 0 = =   − → →           z dz f （这里 x =  cos,y =  sin  ），矛盾。 从此问题的证明中我们可以看到可微要求的是更强的条件，因为可微仍是一个二元函数的