数学分析方法论选讲 极限,只是此时的变量为(△x,△y),所以我们有 问题1.38设=f(x,y)的定义域为有限个连通分支,则f(x,y)在(x0,y0)可微的充要 条件是∫(x,y)沿过点(x,y)的连续路径在点(x0y)路径可微。 【证明】所谓路径可微,即是沿连续曲线C:x=x(D,y=y()Jmy(1)=y有 Ac-dz =0,仿问题1.34的证明即可证得本问题成立 从问题136可看到方向导数存在不一定存在偏导数。下面来探讨二者之间得关系,它 们依然是部分与整体得关系。 问题1.39偏导数fx(x0,V0f"(x0,y0)存在得充要条件是沿b=0(6=)和 日=(6=-x)得方向导数存在且其值相反。 【证明】必要性设 lim ∫(xo+△x,y)-f(x0,y) 则 lir f(xo+pcos, yo psin 0)-f(ro, yo) lim f(x0+p,y)-f(x0,y0) A f(xo+pcos, yo)-f(xo, yo) f(ro-p, yo)-f(ro, yo) =-lim f(xo-P, yo)-f(xo, yo) +△x 充分性设数学分析方法论选讲 极限，只是此时的变量为 （x,y) ，所以我们有 问题 1.3.8 设 z = f (x, y) 的定义域为有限个连通分支，则 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 可微的充要 条件是 f (x, y) 沿过点 ( , ) 0 0 x y 的连续路径在点 ( , ) 0 0 x y 路径可微。 【 证 明 】所 谓 路径 可 微， 即 是沿 连 续曲 线 0 : ( ), ( ),lim ( ) 0 C x x t y y t y t y t t = = = → 有 lim 0 0 =  − →  z dz ，仿问题 1.3.4 的证明即可证得本问题成立。 从问题 1.3.6 可看到方向导数存在不一定存在偏导数。下面来探讨二者之间得关系，它 们依然是部分与整体得关系。 问 题 1.3.9 偏 导数 ( , )( ( , )) 0 0 0 0 f x y f x y x y   存 在 得 充 要条 件 是沿 ) 2 0(   =  = 和 ) 2 3  =  ( =  得方向导数存在且其值相反。 【证明】必要性 设 A x f x x y f x y x =  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ， 则 A f x y f x y f x y f x y = + − = + + − → →          ( , ) ( , ) lim ( cos , sin ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ， A。 x f x x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y x = −  +  − = − − − − = − − − = + −  → → → → ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) lim ( cos , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0           充分性 设