数学分析方法论选讲 f(xo+p, yo)-f(xo, yo) P f(x0-p,y)-f(x0,y0) 则mnf(x+Ax)-f(x、、f4 同理可证关于f(x0,y0)的相应结论。 这里为什么不是两个方向导数相等而一元函数中这是两个方向导数相等呢?这是因为 在这里p取正值,而在一元函数中,右导数lm(x+A1)-(,Ax为正,而左导数 lim /(x+4x)-f(x) 中,△x为负。此外注意到问题136,137的例中f(x,y)有方向导 数,其方向导数与其反方向的方向导数不互为相反数,所以我们可以继续举下面的例。 问题1.3.10证明 (1)f(x,y)={x2+y (x,y)≠(00) 0 (x,y)=(0.0) 在(0.0)有各方向导数存在,各方向与其相反方向的方向导数互为相反数,但在(0,0)不 可微 (x,y)≠(00) (x,y)=(0,0) 其结论与(1)相同。 【分析】注意(1)中∫(x,y)是连续的,并且在问题135的证明中A=f(x0,y0), B=fy(x0,y0),而(2)中f(x,y)在(O0)不连续。 【证明】(1)由/00)=lmf(0+Ax,0)-f(0.0=n0=0 Ar→0△x 同理f”(00)=0。 另一方面,O= lim /(pcosBo,psi)-f00)数学分析方法论选讲 A f x y f x y f x y f x y = − − − = − + − → →       ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 则 A。 x f x x y f x y x =  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 同理可证关于 ( , ) 0 0 f x y y  的相应结论。 这里为什么不是两个方向导数相等而一元函数中这是两个方向导数相等呢？这是因为 在这里  取正值，而在一元函数中，右导数 , ( ) ( ) lim 0 x f x x f x x  +  −  → x 为正，而左导数 x f x x f x x  +  −   ( ) ( ) lim 0 中， x 为负。此外注意到问题 1.3.6, 1.3.7 的例中 f (x, y) 有方向导 数，其方向导数与其反方向的方向导数不互为相反数，所以我们可以继续举下面的例。 问题 1.3.10 证明 （1）      = + 0 ( , ) 2 2 2 x y x y f x y 在 (0,0) 有各方向导数存在，各方向与其相反方向的方向导数互为相反数，但在 (0,0) 不 可微。 （2）      = + 0 ( , ) 6 2 3 x x x y f x y 其结论与（1）相同。 【分析】 注意（1）中 f (x, y) 是连续的，并且在问题 1.3.5 的证明中 ( , ) 0 0 A f x y x =  ， ( , ) 0 0 B f x y y =  ，而（2）中 f (x, y) 在 (0,0) 不连续。 【证明】（1）由 0 0 lim (0 ,0) (0,0) (0,0) lim 3 0 0 =  =  +  −  =  → x  → x f x f f x x x 。 同理 f y (0,0) = 0 。 另一方面，        ( cos , sin ) (0,0) lim 0 0 0 0 f f − f =   → (x, y)  (0,0) (x, y) = (0,0) (x, y)  (0,0) (x, y) = (0,0)