数学分析方法论选讲 0 =cos"0o sin Bo cos(0+r)sin(0 +r)=-cos6o sin 8 o(+x) 6 但注意如果取=,此时若按问题1.3.5的证明有 acos -+Bsir A+B)=0(因为A=f(00)=B=f”(0,0)=0) 但这里 af2I.TI 448 由此f(x,y)在原点(0,0)不可微。 (2)易证f2(00)=0,且f0)=0 f(pcosBo, psin 80)-0 esin e lim p cos 0+p?.=lim-pcos0o sin Bo pp‘cos°O+sm26 (分si6=0和sn60≠0两种情况讨论) 下证f(x,y)在(0,0)不连续 取路径y=x3,则 imf(x,y)=linx°_1 02x62 ≠f(0,0)=0 由此∫(x,y)在(0,0)不连续。当然在(00)不可微。 我们这里讨论的是二元函数与一元函数有本质区别的概念和问题,至于相同形式的 如上、下极限,上、下连续等我们作为练习留给读者数学分析方法论选讲 0 0 2 2 0 0 3 3 0 cos sin 0 cos sin lim         = − = → ，            = + + = − = −  + f f 0 0 2 0 0 2 0 cos ( )sin( ) cos sin ( ) 。 但注意如果取 4 0   ＝ ，此时若按问题 1.3.5 的证明有 ( ) 0 2 2 4 sin 4 cos 0 = + = + =   A B A B f    （因为 A = f x (0,0) = B = f y (0,0) = 0 ）, 但这里 0 8 2 4 sin 4 cos 2 0 =  =       f ， 由此 f (x, y) 在原点 (0,0) 不可微。 （2）易证 f x (0,0) = 0 ，且 f y (0,0) = 0 。        ( cos , sin ) 0 lim 0 0 0 0 − =   → f f 0 cos sin cos sin lim cos sin cos sin lim 0 2 0 4 6 0 0 3 0 0 2 2 0 6 6 0 4 3 0 = + = + = → →                 。 （分 sin  0 = 0 和 sin  0  0 两种情况讨论） 下证 f (x, y) 在 (0,0) 不连续。 取路径 3 y = x ，则 (0,0) 0 2 1 2 lim ( , ) lim 6 6 0 0 0 3 = =  = → = → → f x x f x y x y x y x 。 由此 f (x, y) 在 (0,0) 不连续。当然在 (0,0) 不可微。 我们这里讨论的是二元函数与一元函数有本质区别的概念和问题，至于相同形式的 如上、下极限，上、下连续等我们作为练习留给读者