高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 (1)当x-→a时，函数fx)及g(x)都趋于零； (2)在点a的某去心邻域内可导g(x)≠0； (3)lim四存在（或为无穷大方 x-→ag'(x) 那么 limf =limf x0g(x)x→4g'(x) 这种在一定条件下通过分子分母别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必 达法则。 证明：因为极限1im四与a及ga无关，所以可以假定a=ga)0,于是由条件()、 r→ag(x)） (2)知，x)及gx)在点a的某一邻域内是连续的.设x是这邻域内的一点，那么在以x及a为 端点的区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有 f田_f)-f@-f月（传在x与a之间）. g(x)g(x)-g(a)g') 令x→，并对上式两端求极限，注意到x→a时5→a,再根据条件(3)便得要证明的结论 简要证明：令(a)=g(a)=0,于是x)及g(x)在点a的某邻域内连续.在该邻域内有 lim f()=lim )-f(a)=lim(=lim(=lim →ag(x)-→ag(x)-g(a）x→ag'(5)5ag'(5x-→ag'(x) 令x→4，并对上式两端求极限，注意到x→a时→a,再根据条件(3)便得要证明的结论 求“8”型未定式的极限 0 例1.求1 im sinax(b≠0). x0sinbx 解：lim sinax-lim sinax) xsinbx =lim acosaxa x(sinbx)'bcosbx b 例2.求1imr3-3x+2 x1x3-x2-x+1 解：1imx3-3x+2=limx3-3x+2少 x1x3-x2-x+11(x3-x2-x+l) 品2子 例3.求lim-sinx x3 解：limx-sinx=liml-cosx=limsinx= x3 03x2 -06x6 我们指出，对于x时的未定式8，以及对于x0或x→时的未定式二也有相应 2