文登学校 显然此时方程组(i)与(ⅱ)的解不相同 综上所述,当a=2,b=1,c=2时,方程组(i)与(ⅱ)同解 【评注】本题求a也可利用行列式235=-a+2=0,得a=2 本题也可这样考虑 x1+2x,+3x2=0 x1+3 方程组{x1+x2+ax3=0,必存在无穷多解,化系数矩阵为阶梯形,可确定 x1+bx,+cx3=0, x1+b2x2+(c+1)x3=0 a=2,b=0,c=1或a=2,b=1,c=2,再对两组数据进行讨论即可 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P.355【习题3(7)】 (21)(本题满分13分) 设A为三阶矩阵,a1,2,x3是线性无关的三维列向量,且满足 Aa1=a1+a2+a3,Aa2=2a2+a3,Aa3=2a2+3a (D)求矩阵B,使得A(a12a2a)=(a1,a2,a3)B; (I)求矩阵A的特征值 (I)求可逆矩阵P使得PAP为对角矩阵 分析】利用(1)的结果相当于确定了A的相似矩阵,求矩阵A的特征值转化为求A 的相似矩阵的特征值 100 【详解】()A(a1,a2,a1)=(a1,a2,a3122 「100 可知B=122 (Ⅱ)因为a12a2,ax3是线性无关的三维列向量,可知矩阵C=[a1,a2,a3]可逆,所以 C-AC=B,即矩阵A与B相似,由此可得矩阵A与B有相同的特征值文登学校 12 显然此时方程组（i）与（ii）的解不相同. 综上所述，当 a=2,b=1,c=2 时，方程组（i）与（ii）同解. 【评注】 本题求 a 也可利用行列式 2 0 1 1 2 3 5 1 2 3 = −a + = a ，得 a=2. 本题也可这样考虑： 方程组          + + + = + + = + + = + + = + + = 2 ( 1) 0 0, 0, 2 3 5 0, 2 3 0, 2 3 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x b x c x x bx cx x x ax x x x x x x 必存在无穷多解，化系数矩阵为阶梯形，可确定 a=2,b=0,c=1 或 a=2,b=1,c=2，再对两组数据进行讨论即可. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.355【习题 3（7）】 （21）（本题满分 13 分） 设 A 为三阶矩阵， 1 2 3  , , 是线性无关的三维列向量，且满足 A1 =1 + 2 +3 ， A 2 = 2 2 +3 ， A 3 = 2 2 + 3 3 . (I) 求矩阵 B, 使得 A(1 , 2 ,3 ) = (1 , 2 ,3 )B ； （II）求矩阵 A 的特征值； （III）求可逆矩阵 P, 使得 P AP −1 为对角矩阵. 【分析】 利用(I)的结果相当于确定了 A 的相似矩阵，求矩阵 A 的特征值转化为求 A 的相似矩阵的特征值. 【详解】 (I)           = 1 1 3 1 2 2 1 0 0 ( , , ) ( , , ) A 1  2  3 1  2  3 , 可知 . 1 1 3 1 2 2 1 0 0           B = （II）因为 1 2 3  , , 是线性无关的三维列向量，可知矩阵 [ , , ] C = 1  2 3 可逆，所以 C AC = B −1 ，即矩阵 A 与 B 相似，由此可得矩阵 A 与 B 有相同的特征值. 由