例5.11已知A 能对角化，求A 六实对称矩阵的特性及用正交矩阵化A为相似标准形的解题方法 (一)向量的内积长度及正交性 1.向量的内积设有n维列向量a=(a1,a2,…,an)T,3=(b1,b2,…,bn)T,令(a,)=aTB=6Ta= a1+2b2+…+anbn,(a,3)称为a与B的内积. 2.内积的性质设a,B,y为n维列向量，入为实数，则 (i)(a.B)=(B.a:ii)(a.B)=A(3.a:(ii)(a+3.y)=(a.+(B.y):(iv）a=0时.(a.a)=0, a≠0时，(a,a)>0. 3.向量的长度设a=(a1,2,…,an)T令la=Va,a=√a++…+a层，al称为a的长度. 当lal=1时，a为单位向量. 4.正交向量组和单位正交向量组若(a,)=0,则称a与3正交若非零向量组a1,a2,·,an两两正 交，即(a =0,i≠j,则称a an为正交向量组，若a1,a2,…,an为正交向量组，每个a4=1(1≤ 1S).则称01,02，…，0n为规范正交向量组 5.Schmidt正交化化线性无关向量组am,a2,·a,为规范正交向量组 ()先正交化令=1,3=2-月 月=，-路1--…- -1 则3,2，…：A,为正交向量组： (②)再单位化令=高，1≤i≤，1,2，…，x为规范正交向量组. 5.正交矩阵若n阶矩阵A满足ATA=E(即A-1=A,则称A为正交矩阵. 若令A=(a1,a2,…,an),由4FA=E得la=1,(a,a)=0i≠).即a1,2,…,an为规范正交向量 组同理，A的列向量组也为规范正交向量组， 6.正交矩阵的性质 (1)A为正交矩阵台A的行向量组为规范正交向量组÷A的列向量组为规范正交向量组. (2)A为正交矩阵台A~1为正交矩阵 (3)A为正交矩阵→A=士1. (4)A,B为正交矩阵→AB为正交矩阵， 6 ~5.11 ÆA =   −1 1 0 −2 2 0 4 x 1   UÈz, ¶An. 8 ¢È°› A59^› zAèÉqIO/)Kê{ (ò) ï˛S»,›95 1. ï˛S» knëï˛α = (a1, a2, · · · , an) T , β = (b1, b2, · · · , bn) T ,-(α, β) = α T β = β T α = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn,(α, β)°èαÜβS». 2. S»5ü α, β, γènëï˛,λè¢Í, K (i) (α, β) = (β, α); (ii) (λα, β) = λ(β, α); (iii) (α + β, γ) = (α, γ) + (β, γ); (iv) α = 0û,(α, α) = 0, α 6= 0û,(α, α) > 0. 3. ï˛› α = (a1, a2, · · · , an) T ,-|α| = p (α, α) = p a 2 1 + a 2 2 + · · · + a 2 n ,|α|°èα›. |α| = 1û,α踆ï˛. 4. ï˛|⁄¸†ï˛| e(α, β) = 0,K°αÜβ.eö"ï˛|α1, α2, · · · , αn¸¸ ,=(αi , αj ) = 0, i 6= j,K°α1, α2, · · · , αnèï˛|,eα1, α2, · · · , αnèï˛|,zá|αi | = 1(1 ≤ i ≤ n),K°α1, α2, · · · , αnè5âï˛|. 5. Schmidt z zÇ5Ã'ï˛|α1, α2, · · · , αrè5âï˛| (1) kz -β1 = α1,β2 = α2 − (α2,β1) (β1,β1) β1, · · · , βr = αr − (αr,β1) (β1,β1) β1 − (αr,β2) (β2,β2) β2 − · · · − (αr,βr−1) (βr−1,βr−1) βr−1. Kβ1, β2, · · · , βrèï˛|; (2) 2¸†z -γi = βi |βi| , 1 ≤ i ≤ r, γ1, γ2, · · · , γrè5âï˛|. 5. › en› A˜vAT A = E(=A−1 = A,K°Aè› . e-A = (α1, α2, · · · , αn),dAT A = E|αi | = 1,(α T i , αj ) = 0(i 6= j).=α1, α2, · · · , αnè5âï˛ |.”n,Aï˛|èè5âï˛|. 6. › 5ü (1) Aè› ⇔A1ï˛|è5âï˛|⇔Aï˛|è5âï˛|. (2) Aè› ⇔A−1è› ; (3) Aè› ⇒ |A| = ±1. (4) A, Bè› ⇒ABè› . 6