则1的三个单位根为1,a,2,且a≠a3, 由假设x2+x+1lf1(x3)+xf2(x)得 f1(3)+af2(d3)=0 f1(a3)+a2f2(u5)=0 即f1(1)+of2(1)=0 f(1)+a2f(1)=0 由此解得f(1)=f2(1)=0, 即x-11f1(x),(x-1)f2(x) 18.证明:sinx不能表成x的多项式。 证:反证法。 若sinx能表成数域F上x的多项式,不妨设次数为n,则在数域F内最多有n个根, 但 sinki=0,k=0,±1,±2,… 即sinx在F上有无数个根,矛盾。 故sinx不能表成x的多项式。 19.试就以下给出的根做出次数尽可能低的实系数多项式。 (1)二重根1,单根2及1+i 解:实系数多项式的复数根共轭成对,且重数相同 f(x)=(x-1)2(x-2)(x-(1+i)x-(1-i)=(x-1)2(x-2)(x2-2x+2) (2)二重根2-i,单根1-i 解:f(x)=(x-(2-i))(x-(2+i))2(x-(1-i))(x-(1+i) (x2-4x+5)2(x2-2x+2) 20.证明:奇次实系数多项式至少有一个实根。 证:实系数多项式若有复数根,则它的共轭复数也是这个多项式的根,并且它们的重 数相同。 反证法若奇次实系数多项式无一个实根即全是复数根,则它的根共轭成对,所以次 数为偶数,这与奇次多项式矛盾,所以奇次实系数多项式至少有一个实根。 21.设实系数多项式x4-6x3+ax2+bx+2有四个实根,求证这四个根中至少有一个小 证明:反证法。 设四个根x1,x2,x3,x4均不小于1,即x≥1,i=1,2,3,4. 11