解;令f(x)=Ax4+Bx2+1 则f(x)=4Ax3+2Bx+1 于是有x-1f(x),所以,f(1)=0, 1!f(x),所以∫(1)=0 A+B+1=0 解之A=1 4A+2B=0 B=-2 16.设degf(x)>0,试证f(x)|f(x)当且仅当f(x)=a(x-b)°,a,b∈F. 证:先证充分性。 i f(r)=ax-b),f(r)=an(r-b)n-I 因为degf(x)>0,故a≠0,n≠0 FE (2=a(r-b)=1(r-b)an(2-b)a-1=1(r-b)(r) 所以f(x)|f(x) 再证必要性。 设f(x)lf(x),f(x)为首项系数为a的n次多项式,n≥1 因为f(x)是比f(x)次数低1的多项式,故存在一次式x-b,使 f(x)=1(x-b)f(x) 两边对x求导有 f(x)=(f(r)+(x-br(r) 即f(x)=n-1(x-b)f(x) (2) (2)代人(1):f(x1,(x-b)2f(x) n(n-1 (3) (2)式对x求导:(x)=n12(x-b)f(x) 4) (4)代入(3):f(x)=n(n-1)(n 2( (x-b)3f"(x) 于是有f(x) n(n-1)(n-2)…1 (I-b)"fn(r) n() (x-b)° 因为f(x)=an! 所以f(x)=a(x-b) 17.证明:如果(x2+x+1)f1(x3)+xf2(x3),那么x-1f1(x),(x-1)|f(x) 证:由x3-1=(x-1)(x2+x+1)=0