区域的定理 第15页 337 Cauchy型积分和含参量积分解析性 来 在上一节关于解析函数高阶导数公式的证明过程中,f(2)的解析性只是体现在"(1)f(z)可 用 Cauchy积分公式表计;(2)f(x)在C上连续.因此,重复上面的步骤,就可以证明在一条分 段光滑的(闭合或不闭合)曲线C上连续的函数o()所构成的积分 f(a) (称为 Cauchy型积分)是曲线外点z的解析函数,f'(z)可通过积分号下求导而得到, 例3.4计算积分 f(2) d,|2|≠ 解这是一个 Cauchy区积分.因为在||=1上(*=1/,故 f(a) 27iJ=1 当|z|>1时,此积分可以用 Cauchy积分公式计算 f(z) 2ik=1 当0<|2|<1时, 1「1 f(2)=2i=12l-2-/d=0 看出,此结果对于z=0仍成立.合以上结果,就有 z 0 z|<1. 化根据积分的解 理 由此可见,f(z)在|2≠1处解析,而<*在全平面不解 将用 Cauchy区积分,就可以推出 定理32设 1.f(t,x)是t程z的连右函数,t∈[,b,z∈G, 2.对于[,的、何t值,f(tz)是石的单值解析函数 则F(2)=/f(t,2)dt在G内是解析的,且 证因为f(t,2)在G上解析,故对于G内的任何一点z, Cauchy积分公式成立, f(t, 2) 1 f(t,s)￾✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 15 ✟ §3.7 Cauchy ÷✒✓øùúû✒✓❽ÏÐü ✩ ✜ ✴❢ ❅❥➹➘★✙ ôØ❑✙ âã✢Û Ü✈ ☛ ❭✧ f(z) ✢➹➘❲✒✘❒➶✩ ❨ (1) f(z) ❰ á Cauchy ✖✗âã❪❫❛ (2)f(z) ✩ C ✜❙❚✤◆✼✧× ✔✜✛✢ýþ✧❱ ❰ÏÛ Ü❨✩✴Ù✗ ✲◗❘✢ (➷▼➂①➷▼) ✦✣ C ✜❙❚✢★✙ φ(ζ) ✏⑥✐✢✖✗ f(z) = 1 2π i Z C φ(ζ) ζ − z dζ (❇✱ Cauchyÿ❈❉) ✘ ✦✣➻ ✳ z ✢➹➘★✙✧ f 0 (z) ❰ ➶✈✖✗Þq ⑤ ❑✆✺❀✧ f (p) (z) = p! 2π i Z C φ(ζ) (ζ − z) p+1 dζ. ④ 3.4 ❫❴✖✗ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 ζ ∗ ζ − z dζ, |z| 6= 1. ❷ ❐✘✴● Cauchy ￾ ✖✗✤◆✱ ✩ |ζ| = 1 ✜ ζ ∗ = 1/ζ ✧✍ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 1 ζ(ζ − z) dζ. ✸ |z| > 1 ✻ ✧✼✖✗❰Ïá Cauchy ✖✗âã❫❴✧ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 1 ζ  1 ζ − z  dζ = − 1 z . ✸ 0 < |z| < 1 ✻ ✧ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 1 z  1 ζ − z − 1 ζ  dζ = 0. ✁✂✇❏✧✼❤P✉❥ z = 0 ❡✐✿✤✄▼ Ï ✜❤P✧❱✪ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 ζ ∗ ζ − z dζ =    − 1 z , |z| > 1, 0, |z| < 1. ⑦✼❰➱✧ f(z) ✩ |z| 6= 1 ❰➹➘✧☎✆ ζ ∗ ✩❞ ✚✛①➹➘✤ ✝ á Cauchy ￾ ✖✗✧❱ ❰Ï❁ ❏ ✞✟✠❈❉➽ ❷❄✡ ✤ ➾➚ 3.2 ✥ 1. f(t, z) ✶ t ☛ z ➠➭☞✲✳✧ t ∈ [a, b] ✧ z ∈ G ✧ 2. ❧➥ [a, b] ✌ ➠➣↔ t ✵✧ f(t, z) ✶ G ✌ ➠➙✵✙✚✲✳✧ ❆ F(z) = Z b a f(t, z)dt ✩ G ✖ ✘➹➘✢✧❀ F 0 (z) = Z b a ∂f(t, z) ∂z dt. Ô ◆✱ f(t, z) ✩ G ✜➹➘✧✍✉❥ G ✖ ✢ ✮➴✴✳ z ✧ Cauchy ✖✗âã✐✿✧ f(t, z) = 1 2π i I C f(t, ζ) ζ − z dζ