教学内容( Contents) Chapter Two随机变量及其分布( Random varia ble and Distribution) §2.1一维随机变量(One- dimension random variable) 随机变量与分布函数( Random variable and distribution function 我们讨论过不少随机试验,其中有些实验的结果就是数量,有些虽然本身不是数量,但 可以用数量来表示实验的结果 Example2.1从一批废品率为p的产品中有放回地抽取n次,每次取一件产品,及录取 到废品的次数,这一试验的样本空间为S={12,…n如果用X表示取到废品的次数,那末 Y的取值依赖于实验结果,当实验结果确定了,Ⅹ的取值也就随之确定了。比如,进行了 次这样的随机试验,实验结果ω=1,即在n次抽取中,只有一次取到了废品,那末X=1 Example2.2掷一枚匀称的硬币,观察正面、背面的出现情况。这一试验的样本空间 为S={H,T},其中H表示“正面朝上”,T表示“背面朝上”。如果引入变量X,对实 验的两个结果,将X的值分别规定为1和0,即:x=当出现时 1当出现时·一旦实验的 结果确定了,Ⅹ的取值也就随之确定了 从上述两个例子可以看出:无论随机试验的结果本身与数量有无联系,我们都能把实验 的结果与实数对应起来,即可把实验的结果数量化。由于这样的数量依赖实验的结果,而对 随机试验来说,在每次试验之前无法断言会出现何种结果,因而也就无法确定它会取什麽值 即它的取值具有随机性,我们称这样的变量为随机变量。事实上,随机变量就是随试验结果 的不同而变化的量。因此可以说,随机变量是随试验结果的函数。我们可以把例2.1中的X 写成X=X(o)=O,其中O∈{01,2,…,n,把例2.2中的X写成 X=X() 1,当O=H 般的,我们有以下定义 Definition2.1设E为一随机试验,S为他的样本空间,若X=X(o),O∈S为单值实 函数,且对于任意实数X,集合{oX(o)≤x都是随机事件,则称X为随机变量LetE a random experiment S is its sample space ifX=X(o, oES is a single value real fur and the set olr(o)sx are all random occurrence for arbitrary real value, then define random variable.) 随机变量与普通实函数这两个概念既有联系又有区别,他们都是从一个集合到另一个集 合的映射,它们的区别主要在于:普通实函数无需做试验便可依据自变量的值确定函数值, 而随机变量的取值在做实验之前是不确定的,只有在做了试验之后,依据所出现的结果才能 确定。定义中要求对任一实数x,{o(o)≤x都是事件,这说明并非任何定义在S上的 函数都是随机变量,而是对着函数有一定的要求。定义中的要求无非是说,当我们把随机试 验的结果数量化时,不可随心所欲,而是应该合乎概率公理体系的规范。今后,在不必强调O 时,常省去O,简记X()为X,而O的集合{o|X()≤x所表示的事件简记为X≤x 引入了随机变量之后,随机事件就可以用随机变量来描述,例如,在某城市中考察人口 的年龄结构,年龄在80岁以上的长寿者,年龄介于18岁至35岁之间的年轻人,以及不到1214 教 学 内 容( Contents ) Chapter Two 随机变量及其分布(Random Variable and Distribution) §2.1 一维随机变量(One-dimension Random Variable) 一、 随机变量与分布函数（Random variable and distribution function） 我们讨论过不少随机试验，其中有些实验的结果就是数量，有些虽然本身不是数量，但 可以用数量来表示实验的结果。 Example 2.1 从一批废品率为 p 的产品中有放回地抽取 n 次，每次取一件产品，及录取 到废品的次数，这一试验的样本空间为 S n =  1,2, , .如果用 X 表示取到废品的次数，那末， X 的取值依赖于实验结果，当实验结果确定了， X 的取值也就随之确定了。比如，进行了一 次这样的随机试验，实验结果  =1 ，即在 n 次抽取中，只有一次取到了废品，那末 X =1. Example 2.2 掷一枚匀称的硬币，观察正面、背面的出现情况。这一试验的样本空间 为 S H T = { , } ，其中 H 表示“正面朝上” ，T 表示“背面朝上” 。如果引入变量 X ，对实 验的两个结果，将 X 的值分别规定为 1 和 0 ，即 ：    = 当出现 时 当出现 时 T H X 0, 1, 。一旦实验的 结果确定了， X 的取值也就随之确定了。 从上述两个例子可以看出：无论随机试验的结果本身与数量有无联系，我们都能把实验 的结果与实数对应起来，即可把实验的结果数量化。由于这样的数量依赖实验的结果，而对 随机试验来说，在每次试验之前无法断言会出现何种结果，因而也就无法确定它会取什麽值， 即它的取值具有随机性，我们称这样的变量为随机变量。事实上，随机变量就是随试验结果 的不同而变化的量。因此可以说，随机变量是随试验结果的函数。我们可以把例 2.1 中的 X 写成 X X = = ( )   ,其中   0,1,2, ,n .把例 2.2 中的 X 写成    = = = = T H X X    当 当 0, 1, ( ) .一般的，我们有以下定义： Definition 2.1 设 E 为一随机试验, S 为他的样本空间,若 X X = ( )  ,S 为单值实 函数，且对于任意实数 X ，集合   X x ( )   都是随机事件，则称 X 为随机变量。(Let E a random experiment, S is its sample space, if X X = ( )  ,S is a single value real function and the set   X x ( )   are all random occurrence for arbitrary real value, then define X is random variable.) 随机变量与普通实函数这两个概念既有联系又有区别，他们都是从一个集合到另一个集 合的映射，它们的区别主要在于：普通实函数无需做试验便可依据自变量的值确定函数值， 而随机变量的取值在做实验之前是不确定的，只有在做了试验之后，依据所出现的结果才能 确定。定义中要求对任一实数 x ，  X x ( )   都是事件，这说明并非任何定义在 S 上的 函数都是随机变量，而是对着函数有一定的要求。定义中的要求无非是说，当我们把随机试 验的结果数量化时，不可随心所欲，而是应该合乎概率公理体系的规范。今后，在不必强调  时，常省去  ，简记 X ( )  为 X ，而  的集合   X x ( )   所表示的事件简记为 X x  . 引入了随机变量之后，随机事件就可以用随机变量来描述，例如，在某城市中考察人口 的年龄结构，年龄在 80 岁以上的长寿者，年龄介于 18 岁至 35 岁之间的年轻人，以及不到 12