岁的儿童,它们各自的比率如何。从表面上看,这些是孤立事件,但若我们引进一个随机变 量X:X表示随机抽取一个人的年龄:那末,上述几个事件可以分别表示成{X>80}、 18≤X≤35}及x<12.由此可见,随机事件的概念是被包容在随机变量这个更广的概念 之内的 对于随机变量X,我们不只是看它取哪些值,更重要的是看它以多大的概率取那些值 由随机变量的定义可知,对于每一个实数x,{X≤x}都是一个事件,因此有一个确定的概 率P(X≤x)与x相对应,所以,概率P(X≤x)是x的函数。这个函数在理论和应用中都是 很重要的,为此,我们有以下定义: Definition22设X为一个随机变量,x为任意实数,称函数F(x)=P(X≤x)为X 的分布函数。( Let x is a random variable, x is arbitrary real value, then define F(x)=P(X x)is the distribution function of x 显然,在上述定义中,当x固定为x0时,F(x0)为事件{X≤x0}的概率,当x变化时 概率P(X≤x)便是x的函数。 分布函数的性质( The property of distribution function (1)F(-∞)=0,F(+∞) (2)F(x)是自变量x的非降函数,即当x1<x2时,必有F(x1)≤F(x2).因为当 1<x2时有F(x2)-F(x)=P(x1<X≤x2)≥0,从而有F(x1)≤F(x2) (3)F(x)对自变量x右连续,即对任意实数x,F(x+0)=F(x),事实上 lim[F(x+Ax)-F(x)=lmP(x<X≤x+△x)=P(x<X≤x)=P()=0 右连续性是随机变量的分布函数的普遍性质。对连续的随机变量,F(x)是连续函数。对 离散的随机变量,在可能值x1,(=1,2,)处,F(x)是右连续的 §2.2一维高散型随机变量 (One Dimension Discrete Random variable 离散型随机变量的概率分布( discrete random variable and probability distribution) 离散型随机变量X只可能取有限个或可列个值,设x可能取的值为x1,x2…,xn Definition2.3设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,,xn2…,且X取这些值的概 率为 P(X=xk)=P4(k=1,2,,n2) 则称上述一系列等式为随机变量X的概率分布。( Suppose the value for the discrete random ariable X in the following sequence: xu,x2,, xn and the probability of the value for X is P(X P (k=1 then define the set of equations is probability distribution of X.) 为了直观起见,有时将X的取值及其对应的概率列表如下: P 我们称这种表为离散型随机变量X的概率分布表 Table of probability distribution)。式子 P(X=x)=P4,(k=12…,n,…)和概率分布表都称为离散型随机变量X的分布律( Law of15 岁的儿童，它们各自的比率如何。从表面上看，这些是孤立事件，但若我们引进一个随机变 量 X ： X 表示随机抽取一个人的年龄 ； 那末，上述几个事件可以分别表示成 X  80 、 18 35   X  及 X 12 .由此可见，随机事件的概念是被包容在随机变量这个更广的概念 之内的。 对于随机变量 X ，我们不只是看它取哪些值，更重要的是看它以多大的概率取那些值。 由随机变量的定义可知，对于每一个实数 x ， X x   都是一个事件，因此有一个确定的概 率 P(X  x) 与 x 相对应，所以，概率 P(X  x) 是 x 的函数。这个函数在理论和应用中都是 很重要的，为此，我们有以下定义： Definition 2.2 设 X 为一个随机变量， x 为任意实数，称函数 F(x) = P(X  x) 为 X 的 分布函数。 (Let X is a random variable, x is arbitrary real value, then define F(x) = P(X  x) is the distribution function of X .) 显然，在上述定义中，当 x 固定为 0 x 时， ( ) 0 F x 为事件 { }0 X  x 的概率，当 x 变化时， 概率 P(X  x) 便是 x 的函数。 分布函数的性质(The property of distribution function) （1） F(−) = 0,F(+) = 1 . （2） F(x) 是自变量 x 的非降函数，即当 1 2 x  x 时，必有 ( ) ( ) 1 2 F x  F x .因为当 1 2 x  x 时有 F(x2 ) − F(x1 ) = P(x1  X  x2 )  0 ，从而有 ( ) ( ) 1 2 F x  F x . （3） F(x) 对自变量 x 右连续，即对任意实数 x ， F(x + 0) = F(x) ，事实上， 0 0 lim [ ( ) ( )] lim ( ) ( ) ( ) 0 x x F x x F x P x X x x P x X x P V + +  →  → +  − =   +  =   = = 右连续性是随机变量的分布函数的普遍性质。对连续的随机变量， F(x) 是连续函数。对 离散的随机变量，在可能值 x ,(i =1,2,...) i 处， F(x) 是右连续的。 §2.2 一维离散型随机变量 (One Dimension Discrete Random Variable) 一、离散型随机变量的概率分布(discrete random variable and probability distribution) 离散型随机变量 X 只可能取有限个或可列个值，设 x 可能取的值为 , ,..., ,.... 1 2 n x x x . Definition 2.3 设离散型随机变量 X 可能取的值为 , ,..., ,.... 1 2 n x x x ，且 X 取这些值的概 率为： k pk P(X = x ) = ( k = 1,2,..., n,...) 则称上述一系列等式为随机变量 X 的概率分布。(Suppose the value for the discrete random variable X in the following sequence: , ,..., ,.... 1 2 n x x x , and the probability of the value for X is k pk P(X = x ) = ( k = 1,2,..., n,...) then define the set of equations is probability distribution of X .） 为了直观起见，有时将 X 的取值及其对应的概率列表如下： X 1 x 2 x …… n x … P 1 p 2 p …… n p … 我们称这种表为离散型随机变量 X 的概率分布表(Table of probability distribution)。式子 k pk P(X = x ) = ，（ k = 1,2,..., n,...) 和概率分布表都称为离散型随机变量 X 的分布律(Law of