25 <9丌; 其他 5.设随机变量X服从正态分布N(O),试求随机变量的函数y=x2的密度函 数f(y) 解x-N0),所以/()=e1-=<x<+,此时y=x2不为单调函数不 能直接利用性质求出f()。须先求Y的分布函数F1(y) 0 F()=P(≤y)=P(x2≤y) y<0 p(-≤x≤)y 叫(、≤Xs√=(== f()=F()={√z2√y√2n2V y>0 0. 其他 6.设随机变量X服从参数为1的指数分布,求随机变量的函数Y=e的密度 函数f() 解f()-「 >0 其他 y=e的反函数hy)=hyh(y)=-,因此所求的Y的密度函数为 In y>0 f(0)=fx((v)h( y 其他, y>1 其他 7.设X服从NO),证明∝+a服从Naa2)其中ao为两个常数且a>0 证明由于X~NO.),所以f(x) Vze-<xx+,记y=ax+a,则当a>0= 0, , 1 y . 9 ; 4 25 其他   y   5. 设随机变量 X 服从正态分布 (0,1) ，试求随机变量的函数 2 Y = X 的密度函 数 f (y) Y 。 解 X ~ (0,1) ，所以 ( ) = −   + − f x e x x X , 2 1 2 2  ，此时 2 y = x 不为单调函数不 能直接利用性质求出 f (y) Y 。须先求 Y 的分布函数 F (y) Y 。 FY (y) = P(Y  y) = P(X  y) = 2 P(− y  X  y ) 0 0, 0;   y y ( ) ( )  − − − −   = = y y y y P y X y f X x dx e dx x 2 2 2 1  . f Y (y) = FY (y) = 0, , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 y e y e y y − − +   , 0; 其他 y  = 0, , 2 1 2 y e y −  . 0; 其他 y  6. 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，求随机变量的函数 X Y = e 的密度 函数 f (y) Y 。 解 f X (x) = 0, , x e − . 0; 其他 x  x y = e 的反函数 ( ) ( ) y h y y h y 1 = ln ,  = ，因此所求的 Y 的密度函数为 f Y (y) = f X (h(y))h(y) = ln 1 , 0, y e y − , ln 0; 其他 y  = 0, , 1 2 y . 1; 其他 y  7. 设 X 服从 (0,1) ，证明 X + a 服从 ( ) 2  a, ,其中 a, 为两个常数且   0。 证明 由于 X ~ (0,1),所以 ( ) = −   + − f x e x x X , 2 1 2 2  ，记 Y =X + a ，则当   0