定理(四凸判定法)设函数f(x)在区间/上有二阶导数 (1)在/内f"(x)>0,则f(x)在I内图形是凹的;七 (2)在/内f(x)<0,则f(x)在/内图形是凸的 证:x1,x2∈,利用阶泰勒公式可得 f(x1)=∫( x X+x f(2 f"(51 x1+x22 2 f(x2)=f(+2)+(+)x2一+)计(52(x,一x+x2 两式相加 f(x)+f(x2)=2f(,)+("2)f”(5+f"(52) 当f"(x)>0时,x片(2>f(+x),说明(1)成立 2)证毕 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结束定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . + − 证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x = f 2 1 2 x + x 2! ( ) 1 f  + 2 1 (x − ) 2 1 2 x + x ( ) ( ) 2 f x = f 2 1 2 x + x + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) x2 − 2 1 2 x + x 2! ( )  2 f  + 2 2 (x − ) 2 1 2 x + x 两式相加 ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x + f x = f 2 1 2 x + x 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x −x + [ ( ) ( )] 1  2 f  + f  当f (x)  0时, ( ), 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x  + 2 1 2 x + x 说明 (1) 成立;  (2) + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) 1 x 2 1 2 x + x  机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕