§82方程常点邻域内的解 第6页 应用常微分方程的幂级数解法,可以得到方程在一定区域内的解式,我们也可以根据需要 求出方程在不同区域内的解式.可以证明,方程在不同区域内的解式,互为解析延拓.因此,也可 从方程在某一区域内的解式出发,通过解析延拓,推出方程在其他区域内的解式 例8.4设u1是方程 (8.3) 的解,在区域G1内解析.若ω1是ω1在区域G2内的解析延拓,即 ∈G1∩ (8.4) 试证明:t1仍是方程(8.3)的解 12u +q(2)1=g(2), g(2)在G2内解析.因为u1是方程(8.3)在区域G1内的解,故在子区域G1∩G2内,仍满足方程 +八+m=0 d-wr 而在此子区域内,mn1(2)≡1(z),故 d 2i lw1 d2+p(/a2+g(z)i1 z∈Gi∩G 即g(z)≡0,z∈G1∩G2.根据解析函数的唯一性,立即证得 g(2)≡0 ∈G2 亦即v1在G2内满足方程 42+p(2) +q()1=0.口 例85设m1和m2都是方程(8.3)的两个线性无关解,且均在区域G1内解析.若 m1和2分别是u1和m2在区域G2内的解析延拓,即在z∈G1∩G2中 l1三u1,U2三u2 试证:t1和v2仍线性无关 证由例8.4知,1和2仍是方程(在G2内)的解.因为u1和m2线性无关, △[u1,2]≡ n1m2l≠0,z∈G1 U12 u2 g(2)在G2内解析.由于在z∈G1∩G2中 U三,m2≡u2 故g(x)≠0,z∈G1∩G2.仍然根据解析函数的唯一性,就证得 g(2)≠0.,z∈G 所以,1和2(在G2内)仍线性无Wu Chong-shi §8.2 ✡☛✞↕☛☞ ✌☞✏ ✓ 6 ✔ ❄ õ❾❰Ï❍■❏✹á▲◆❯❲Û➑üý❍■❻➃❚❱Þ ❐❏◆ë▼❲❳❨Û➑ÙÚ❩➜ ❲ ñò❍■❻➅◆❱Þ ❐❏◆ë▼Û➑➚ ➪❲❍■❻➅◆❱Þ ❐❏◆ë❲❬ ●◆❳❭❪▼ ➩➫❲❨Û ✺ ❍■❻❫➃❱Þ ❐❏◆ëò❴❲✯✻◆❳❭❪❲✠ò❍■❻→➣❱Þ ❐❏◆ë▼ ➇ 8.4 ❵ w1 ❖❍■ d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0 (8.3) ❏◆❲❻❱Þ G1 ❐◆❳▼❛ we1 ❖ w1 ❻❱Þ G2 ❐❏◆❳❭❪❲➭ w1 ≡ we1, z ∈ G1 T G2, (8.4) ❜ ➚ ➪➏ we1 ❝❖❍■ (8.3) ❏◆▼ ❞ ❵ d 2we1 dz 2 + p(z) dwe1 dz + q(z)we1 = g(z), g(z) ❻ G2 ❐◆❳▼➩ ● w1 ❖❍■ (8.3) ❻❱Þ G1 ❐❏◆❲❡ ❻❢❱Þ G1 T G2 ❐❲❝❣❤❍■ d 2w1 dz 2 + p(z) dw1 dz + q(z)w1 = 0. ✿❻ ➫ ❢❱Þ ❐❲ w1(z) ≡ we1(z) ❲ ❡ d 2we1 dz 2 + p(z) dwe1 dz + q(z)we1 = 0, z ∈ G1 T G2, ➭ g(z) ≡ 0, z ∈ G1 T G2 ▼ ÙÚ◆❳✍▲❏Õ➃❨❲✐➭➚ü g(z) ≡ 0, z ∈ G2, ❥ ➭ we1 ❻ G2 ❐❣❤❍■ d 2we1 dz 2 + p(z) dwe1 dz + q(z)we1 = 0. ➇ 8.5 ❵ w1 ❊ w2 ↔ ❖ ❍ ■ (8.3) ❏ ➎ ➄ ▲ ❨ ➟ ✡ ◆ ❲× ô ❻ ❱ Þ G1 ❐◆ ❳ ▼❛ we1 ❊ we2 Ï❱❖ w1 ❊ w2 ❻❱Þ G2 ❐❏◆❳❭❪❲➭❻ z ∈ G1 T G2 ❿ w1 ≡ we1, w2 ≡ we2. ❜ ➚➏ we1 ❊ we2 ❝▲❨ ➟ ✡▼ ❞ ❘❈ 8.4 ❦❲ we1 ❊ we2 ❝❖❍■ (❻ G2 ❐) ❏◆▼➩ ● w1 ❊ w2 ▲❨ ➟ ✡❲ ∆[w1, w2] ≡      w1 w2 w 0 1 w 0 2      6= 0, z ∈ G1. ❵ ∆[we1, we2] ≡      we1 we2 we 0 1 we 0 2      = g(z), g(z) ❻ G2 ❐◆❳▼❘✽❻ z ∈ G1 T G2 ❿❲ w1 ≡ we1, w2 ≡ we2, ❡ g(z) 6= 0, z ∈ G1 T G2 ▼❝ ãÙÚ◆❳✍▲❏Õ➃❨❲ð➚ü g(z) 6= 0, z ∈ G2. ➐➑❲ we1 ❊ we2(❻ G2 ❐) ❝▲❨ ➟ ✡▼