第八讲二阶线性常微分方程的幂级数解法( 第5页 正如定理所说,任意给定一组co和q,就一定可以求出方程的一个特解.特别是, 如果取co=1,c1=0,就得到特解y(x); 如果取co=0.c1=1,就得到特解y2(x) 显然,这两个特解{x)和ψ(x)是线性无关的.从这两个线性无关特解出发,就可以构 造出方程的通解 如果把解式中的常数co和c1看成是任意叠加常数,上面得到的就是方程的通解 关于解的奇偶性的讨论.上面求得的特解中,y(x)只含有x的偶次幂,y(x)只含有r的奇 次幂,即y(x)是x的偶函数,y2(x)是x的奇函数.从求解的过程来看,这是由于递推关系中只 出现系数+2和(,而与+无关,因此2n完全由c0决定,2n+1完全由a1决定.从根本上 来说,方程的解的对称性(这里指的是奇偶性),当然应该是方程的对称性的反映 通过这个实例,可以看出在常点邻域内求级数解的一般步骤.这就是: 将(方程常点邻域内的)解展开为 Taylor级数,代入微分方程 比较系数,得到系数之间的递推关系 反复利用递推关系,求出系数ck的普遍表达式(用c和1表示),从而最后得出级数解; 由于递推关系一定是线性的(因为方程是线性的),所以最后的级数解一定可以写成 w(a)=cown(a)+c1w2(2) 的形式 在系数之间的递推关系中,一般会同时出现ck,ck+1,ck+2三个相邻的系数,因此ck会同时依 赖于c0和c1,最后求得的u1(2)或u2(z)就不会只含有z的偶次幂或奇次幂Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ (✒) ✓ 5 ✔ æ❹❚➬➐ó❲ ÓÔ✒❚➃✓ c0 ❊ c1 ❲ð➃❚Û➑ñò❍■❏➃➄❯◆▼❯❱❖❲ • ❹❺✔ c0 = 1, c1 = 0 ❲ðüý❯◆ y1(x) ✕ • ❹❺✔ c0 = 0, c1 = 1 ❲ðüý❯◆ y2(x) ▼ ✖✗❲ ✘✙✚✛❪ y1(x) ✜ y2(x) ✐✢②t ✣❣ ▼✤✘✙✚✢②t ✣✛❪ ✥✦❲③✧ ★✩ ✪ ✥❜❝❣✫❪ ▼ • ❹❺Ü◆ë ❿❏❾▲ c0 ❊ c1 ✬✑❖ÓÔ✭➾❾▲❲✮ ➷üý❏ð❖❍■❏✯◆▼ ✄✰➻❅✱✲✽❅✳✴▼ ✮ ➷ñü❏❯◆ ❿❲ y1(x) ✵✶➂ x ❏✷✸✹❲ y2(x) ✵✶➂ x ❏➆ ✸✹❲➭ y1(x) ❖ x ❏✷✍▲❲ y2(x) ❖ x ❏➆✍▲▼✺ ñ◆❏✻■✼✬❲Ø❖ ❘✽✟✠✡❑ ❿✵ ò✾❑▲ ck+2 ❊ ck ❲✿å ck+1 ➟ ✡❲ ➩➫ c2n P◗ ❘ c0 ❙❚❲ c2n+1 P◗ ❘ c1 ❙❚▼✺Ù❀✮ ✼ó❲❍■❏◆❏❁❋❨ (Øä❂❏❖➆✷❨) ❲❃ ã❄❅❖❍■❏❁❋❨❏✆❆▼ ✯✻Ø➄❇❈❲Û➑✬ò❻❾❼ÝÞ ❐ñá▲◆❏➃❉❊❋▼Øð❖➏ • é (❍■❾❼ÝÞ ❐❏) ◆ßà● Taylor á▲❲ìí❰Ï❍■✕ • îï❑▲❲üý❑▲ÿ￾❏✟✠✡❑✕ • ✆✝✞õ✟✠✡❑❲ñò❑▲ ck ❏●❍ö■ë (õ c0 ❊ c1 ö÷) ❲ ✺ ✿❏❑üòá▲◆✕ ❘✽✟✠✡❑➃❚❖▲❨❏ (➩ ●❍■❖▲❨❏) ❲➐➑❏❑❏á▲◆➃❚Û➑✏✑ w(z) = c0w1(z) + c1w2(z) ❏êë▼ ❻❑▲ÿ￾❏✟✠✡❑ ❿❲➃❉▼◆❖ò✾ ck, ck+1, ck+2 P➄◗Ý❏❑▲❲➩➫ ck ▼◆❖❘ ❙ ✽ c0 ❊ c1 ❲❏❑ñü❏ w1(z) ❚ w2(z) ð➅▼✵✶➂ z ❏✷✸✹❚➆✸✹▼