§82方程常点邻域内的解 第4页 (2n-l-2)(2 1) C2n-2 (2n-l-2)(2n-l-4)(2n+l-1)(2n+l-3) 2n(2n-1)(2n-2)(2n-3) 2)(2n-l-4)…(-1)·(2n+l-1)(2n+l-3)…(l+1), (2n-l-1)(2n-l-3)(2n+l)(2n+l-2 (2n+1)(2n)(2n-1)(2n-2) (2n-1-1)(2n-1-3)…(-1+1).(2m+1)(2n+1-2)…(+2) 利用r函数的性质 r(z+1) r(z+n+1)=(x2+n)(z+n-1)…(z+1)r(z) 可以将c2n和C2n+1写成 l+1 所以, Legendre方程的解就是 v(x)=co1(x)+c1y2(x), 其中 (2n)! 2 (x)Wu Chong-shi §8.2 ✡☛✞↕☛☞ ✌☞✏ ✓ 4 ✔ c2n = (2n − l − 2)(2n + l − 1) 2n(2n − 1) c2n−2 = (2n − l − 2)(2n − l − 4)(2n + l − 1)(2n + l − 3) 2n(2n − 1)(2n − 2)(2n − 3) c2n−4 = · · · = c0 (2n)!(2n − l − 2)(2n − l − 4)· · ·(−l) · (2n + l − 1)(2n + l − 3)· · ·(l + 1), c2n+1 = (2n − l − 1)(2n + l) (2n + 1)(2n) c2n−1 = (2n − l − 1)(2n − l − 3)(2n + l)(2n + l − 2) (2n + 1)(2n)(2n − 1)(2n − 2) c2n−3 = · · · = c1 (2n + 1)!(2n − l − 1)(2n − l − 3)· · ·(−l + 1) · (2n + l)(2n + l − 2)· · ·(l + 2). ✞õ Γ ✍▲❏❨✎ Γ (z + 1) = zΓ (z), Γ (z + n + 1) = (z + n)(z + n − 1)· · ·(z + 1)zΓ (z), Û➑é c2n ❊ c2n+1 ✏✑ c2n = 2 2n (2n)! Γ  n − l 2  Γ  − l 2  Γ  n + l + 1 2  Γ  l + 1 2  c0, c2n+1 = 2 2n (2n + 1)! Γ  n − l − 1 2  Γ  − l − 1 2  Γ  n + 1 + l 2  Γ  1 + l 2  c1. ➐➑❲ Legendre ❍■❏◆ð❖ y(x) = c0y1(x) + c1y2(x), → ❿ y1(x) = X∞ n=0 2 2n (2n)! Γ  n − l 2  Γ  − l 2  Γ  n + l + 1 2  Γ  l + 1 2  x 2n , y2(x) = X∞ n=0 2 2n (2n + 1)! Γ  n − l − 1 2  Γ  − l − 1 2  Γ  n + 1 + l 2  Γ  1 + l 2  x 2n+1