第八讲二阶线性常微分方程的幂级数解法( 第3页 §8.2方程常点邻域内的解 首先,不加证明地介绍下面的定理 定理81如果p(2)和q(2)在圆|z-a0|<R内单值解析,则在此圆内常微分方程初值间题 2 a2x+p(2)2+)=0 (20)=c0,u(z0)=c1(co,c1为任意常数) 有唯一的一个解v(2),并且v(z)在这个圆内单值解析 根据这个定理,可以把u(z)在20点的邻域|2-20<R内展开为 Taylor级数 (2) k(z-20) k=0 显然,这里(2-20)°与(z-20)}的系数co与c1正好和初值条件 将这个形式的级数解代入微分方程,比较系数,就可以求出系数∝k.定理说明,系数 (k=2,3,…)均可用co,c1表示 例83求 Legendre方程 (1-x2) ay +l(+1)y=0 在x=0点邻域内的解,其中l是一个参数 解x=0是方程的常点,因此,可令解 代入方程,就有 (1-x2)∑ck(k-1)x-2-2x∑kx-1+1(+1)∑cx=0 k=0 整理合并,得到 ∑{+2(+1)+2-体+1-0+1)4=0 根据 Taylor展开的唯一性,可得 (k+2)(k+1)ck+2-[k(k+1)-l(+1) +1)-l(+1)(k-l)(k+l+1) (k+2)(k+1)Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ (✒) ✓ 3 ✔ §8.2 ❃❄❀➳➵➸➺❅➻ ➼➽❲➅➾➚ ➪➶➹➘➴➷❏❚➬▼ ➮➱ 8.1 ❹❺ p(z) ❊ q(z) ❻ ✃ |z − z0| < R ❐❒❮◆❳❲❽❻➫ ✃❐❾❰Ï❍■Ð❮ÑÒ d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0, w(z0) = c0, w0 (z0) = c1 (c0, c1 ●ÓÔ❾▲) ➂Õ➃❏➃➄◆ w(z) ❲Ö× w(z) ❻Ø➄ ✃❐❒❮◆❳▼ ÙÚØ➄❚➬❲Û➑Ü w(z) ❻ z0 ❼❏ÝÞ |z − z0| < R ❐ßà● Taylor á▲ w(z) = X∞ k=0 ck(z − z0) k . âã❲Øä (z − z0) 0 å (z − z0) 1 ❏❑▲ c0 å c1 æç❊Ð❮➯➲➃è▼ é Ø➄êë❏á▲◆ìí❰Ï❍■❲îï❑▲❲ðÛ➑ñò❑▲ ck ▼❚➬ó ➪❲❑▲ ck(k = 2, 3, · · ·) ôÛõ c0, c1 ö÷▼ ➇ 8.3 ñ Legendre ❍■ ￾ 1 − x 2
d 2y dx 2 − 2x dy dx + l(l + 1)y = 0 ❻ x = 0 ❼ÝÞ ❐❏◆❲→ ❿ l ❖➃➄ø▲▼ ➻ x = 0 ❖❍■❏❾❼❲ ➩➫❲Ûù◆ y = X∞ k=0 ckx k . ìí❍■❲ð➂ ￾ 1 − x 2
X∞ k=0 ckk(k − 1)x k−2 − 2x X∞ k=0 ckkxk−1 + l(l + 1)X∞ k=0 ckx k = 0, ú ➬ûÖ❲üý X∞ k=0 n (k + 2)(k + 1)ck+2 − k(k + 1) − l(l + 1) ck o x k = 0. ÙÚ Taylor ßà❏Õ➃❨❲Ûü (k + 2)(k + 1)ck+2 − [k(k + 1) − l(l + 1)] ck = 0, ➭ ck+2 = k(k + 1) − l(l + 1) (k + 2)(k + 1) ck = (k − l)(k + l + 1) (k + 2)(k + 1) ck. Øþðüý➓❑▲ÿ￾❏ ✁✂✄☎ ▼✆✝✞õ✟✠✡❑❲ðÛ➑ñü❑▲