由罗尔定理：5e(a,x),点∈(x。,b)使得F'(5)=F'(5)=0. 再对F'(x)在(5,5)上应用罗尔定理5e(5,)c(a,b)使得F"(5)=0, 即∫(5)=g"(5). 13、(2011年，数一，10分)求方程k arctan x-x=0不同实根的个数，其中k 为参数. 解：今f0w)=karctanx-x,fW)=k-1=x 1+x2 (1)当k-1≤0，即k≤1时，'(x)≤0（除去可能一点外'(x)<0),所以f(x) 单调减少，又因为imx)=+o,imf(x)=o,所以方程只有一个根. (2)当k-1>0,即k>1时，由"(x)=0得x=±-， 当x∈(-0，-√k-)时，f'(x)<0,当x∈(-√R-,√k-i)时，f'(x)>0, 当xe(Nk-l,+o)时，f'(x)<0 所以x=-k-为极小点，x=√k-为极大点. 极小值为-k arctan k-+√k-i为，极大值为k arctan k-i-k-i, 令k-i=t,当k>1时，t>0.令 g(t)=k arctan vk-l-√k-I=(l+t2)arctan t-t,，显然g(0)=0,因为 g'(0=2 tarctant>0,所以g)>g(0)=0(当t>0),即k arctan k-i-√k-i>0 又因为1imfx)=+o,im(x)=-o,所以方程有三个根，分别位于(-o,-k-), (-√k-i,k-i),(k-1,+0内. 14、(2011年，数一，10分)证明：对任意正整数n,都有1 证明：令fw)=1+)在D,白应用中值定理： m时-