第3期 李幼年：小学数学奥赛试题解再评析 5。 分析：令A=x,B=y,则有：11xy-12y=29× 3.“某数除以13余10”即某数比13的倍数少3.可 12x,y1x.2)=29×12x,y=%由于丈 知某数比1山和13的公倍数少3。令x为整数，则某 数可表示为11X13x.3=143x.3.又令v为整数 +29片那么y必大于30，经试算y可取32和36 可知某数为17y+12,于是143x-3=17y+12,y= 笔者评“分析”中提出“y必大于30，经试算y可 143 7 取32或36。” 5=81+，不难看出，当x=7时，y =58。∴，这个数的最小可能值是143×7.3=998。 要知道大于30的自然数多的是，但不知要经过 怎样的试算，也不知经过了多少次的试算才能确定这 又如1997年总决赛数学竞赛第10题。有一座山 32和36更不知除此以外是否还存在满足条件的自 里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和治 然数？这里作如下探计由“分析可知y一品合 每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒 头，而平均每个和尚每天恰好吃一个馒头，那么在这 座山里至少有和尚 个。答案556个。 11x-1 分析：（不定方程法）设有x个大和尚，y个小和 尚，每个大和尚吃馒头！个，每个小和尚吃馒头 知72必为自然数，且1x12必为4176的 个，x个大和尚和y个小和尚吃馒头的个数为号个， 个因数，然而4176=1×4176=2×2088=3×1392 每个小和尚吃馒头个，x个大和尚和y个小和尚吃 4×1044■6×696■8×522■9×464■12×348■16 ×261=18×232=24×174=29×14436×116=48 馒头的个数为)x+马y(个)，因为每人恰好吃一个 ×87=58×72。即4176共有30个因数，即11x-12 的值只能是这30个因数中的一个或几个。经试算可 所以馒头个数等于和尚个数由此可列出方程x+ 知当11x-12=87时，x=9,y=36,当11x-12= 0=X+y解得x=站×，所以共有和尚数是x+ 1044时×=96，y=32。其余28个因数都不能得出满 足条件的解。故可确定A,B应填的只能是36或32。 y=8×+y=的，因为人数为整数所以x+y 3条件挖据不够，解法并非最简 例如：1998年初赛试题A)第6题。某数除以11 为整数，观察的y后，只有总为整数x+y才可能 余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小 为整数，所以推得y~493,进一步得到x~是×子× 可能值是 ,答案998。分析这类题一般用枚 493=63.所以和尚数为x+y=63+493=556(个)。 举法来解、其解题步骤是：(1)先列出多个“被几除余 笔者评“答案”正确“分析”合理，过程也不太繁。 几"的数串，(2)所有数串中第 一个公有的数就是符合 但“平均”这条件利用不充分，可用这条件求出大、小 条件的第一个数。但有时需要写出较长的数串比较 和尚人数比的“损益法”。 麻烦，这也正是枚举法的弱点，遇到较复杂的问题时， 如果平均每个和尚每天恰好吃一个馒头，那么， 可对枚举法作些改进先找出除以17余12的数29， 46,63,80,97,114,113,,(从除数较大的开始找， 每个大和尚每天都少吃（受损）号1=兰个，每个小 比较方便)。再找出除13余10的数23,36,49,62 和尚每天都多吃（受益）1。=8个。要满足平均 75,88,101,114,…,显然114满足被17除余12， 数，只须使多吃的个数等于少吃的个数，又只须取大 被13除余10。由于17和13的最小公倍数是221.所 小和尚人数的比等于大小和尚受损、受益个数的反比 以114+221×1,114+221×2,114+221×3,114 221×4,114+221×5,…,均满足被17除余12，被 号斗63493，而63493是最简的比，所以大小和 13除余10。只需在这串数中找到除以11余8的数就 尚至少有63+493=556个。 行了，显然114+221X4998符合题意。 又如：1997年初赛试题B)第8题两个杯中分 笔者评“分析”没有发现一个隐性条件，所以解 别装有浓度40%与10%的食盐水，倒在一起后混合 法比较麻烦 食盐水浓度为30%。若再加入300克20%的食盐水 因为“某数除以11余8”即某数比11的倍数少 则浓度变成25%，那么原有40%的食盐水© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 分析: 令A = x, B = y, 则有: 11xy - 12y= 29× 12x, y×(11x- 12) = 29×12x, y= 29 ×12x 11x- 12 , 由于 1 x + 29 y = 11 12 , 那么 y 必大于 30, 经试算 y 可取 32 和 36。 笔者评:“分析”中提出“y 必大于 30, 经试算 y 可 取 32 或 36。” 要知道大于 30 的自然数多的是, 但不知要经过 怎样的试算, 也不知经过了多少次的试算才能确定这 32 和 36, 更不知除此以外是否还存在满足条件的自 然数? 这里作如下探讨: 由“分析”可知 y= 29 ×12x 11x- 12 = 348x 11x- 12 = 31 + 7x+ 372 11x- 12 , 则 11y = 31 × 11 + 7x+ 372 11x- 12 ×11= 341+ 77x+ 4092 11x- 12 = 348+ 4176 11x- 12 。可 知 4176 11x- 12 必为自然数, 且 11x - 12 必为 4176 的一 个因数, 然而 4176= 1×4176= 2×2088= 3×1392= 4×1044= 6×696= 8×522= 9×464= 12×348= 16 ×261= 18×232= 24×174= 29×144= 36×116= 48 ×87= 58×72。即 4176 共有 30 个因数, 即 11x- 12 的值只能是这 30 个因数中的一个或几个。经试算可 知当 11x - 12= 87 时, x = 9, y = 36, 当 11x - 12= 1044 时 x= 96, y= 32。其余 28 个因数都不能得出满 足条件的解。故可确定A、B 应填的只能是 36 或 32。 3 条件挖掘不够, 解法并非最简 例如: 1998 年初赛试题(A ) 第 6 题。某数除以 11 余 8, 除以 13 余 10, 除以 17 余 12, 那么这个数的最小 可能值是 。答案 998。分析: 这类题一般用枚 举法来解, 其解题步骤是: (1) 先列出多个“被几除余 几”的数串, (2) 所有数串中第一个公有的数就是符合 条件的第一个数。但有时需要写出较长的数串, 比较 麻烦, 这也正是枚举法的弱点, 遇到较复杂的问题时, 可对枚举法作些改进: 先找出除以 17 余 12 的数: 29, 46, 63, 80, 97, 114, 113, ……, (从除数较大的开始找, 比较方便)。再找出除 13 余 10 的数: 23, 36, 49, 62, 75, 88, 101, 114, ……, 显然 114 满足被 17 除余 12, 被 13 除余 10。由于 17 和 13 的最小公倍数是 221, 所 以 114+ 221×1, 114+ 221×2, 114+ 221×3, 114+ 221×4, 114+ 221×5, ……, 均满足被 17 除余 12, 被 13 除余 10。只需在这串数中找到除以 11 余 8 的数就 行了, 显然 114+ 221×4= 998 符合题意。 笔者评:“分析”没有发现一个隐性条件, 所以解 法比较麻烦。 因为“某数除以 11 余 8”, 即某数比 11 的倍数少 3,“某数除以 13 余 10”, 即某数比 13 的倍数少 3, 可 知某数比 11 和 13 的公倍数少 3。令 x 为整数, 则某 数可表示为 11×13x - 3= 143x - 3, 又令 y 为整数, 可知某数为 17y+ 12, 于是 143x - 3= 17y+ 12, y= 143x- 15 17 = 8x- 1+ 7x+ 2 17 , 不难看出, 当 x= 7 时, y = 58。∴这个数的最小可能值是 143×7- 3= 998。 又如 1997 年总决赛数学竞赛第 10 题。有一座山 里有若干个大和尚和若干个小和尚, 已知 7 个大和尚 每天共吃 41 个馒头, 29 个小和尚每天共吃 11 个馒 头, 而平均每个和尚每天恰好吃一个馒头, 那么在这 座山里至少有和尚 个。答案: 556 个。 分析: (不定方程法) 设有 x 个大和尚, y 个小和 尚, 每个大和尚吃馒头 41 7 个, 每个小和尚吃馒头 11 29 个, x 个大和尚和 y 个小和尚吃馒头的个数为 41 7 个, 每个小和尚吃馒头 11 29 个, x 个大和尚和 y 个小和尚吃 馒头的个数为 41 7 x+ 11 29 y (个) , 因为每人恰好吃一个, 所以馒头个数等于和尚个数, 由此可列出方程 41 7 x+ 11 29 y= x+ y 解得 x= 11 29 × 7 17 y, 所以共有和尚数是x+ y= 11 29 × 7 17 y+ y= 556 493 y, 因为人数为整数, 所以 x+ y 为整数, 观察 556 493 y 后, 只有 556 493 y 为整数, x+ y 才可能 为整数, 所以推得 y= 493, 进一步得到 x= 9 29 × 7 17 × 493= 63, 所以和尚数为 x+ y= 63+ 493= 556 (个)。 笔者评:“答案”正确“分析”合理, 过程也不太繁。 但“平均”这条件利用不充分, 可用这条件求出大、小 和尚人数比的“损益法”。 如果平均每个和尚每天恰好吃一个馒头, 那么, 每个大和尚每天都少吃(受损) 41 7 - 1= 34 7 个, 每个小 和尚每天都多吃(受益) 1- 11 29 = 18 29 个。要满足平均 数, 只须使多吃的个数等于少吃的个数, 又只须取大 小和尚人数的比等于大小和尚受损、受益个数的反比 18 29 : 34 7 = 63: 493, 而 63: 493 是最简的比, 所以大小和 尚至少有 63+ 493= 556 个。 又如: 1997 年初赛试题 (B) 第 8 题 两个杯中分 别装有浓度 40% 与 10% 的食盐水, 倒在一起后混合 食盐水浓度为 30%。若再加入 300 克 20% 的食盐水, 则浓度变成 25% , 那么原有 40% 的食盐水 第 3 期 李幼年: 小学数学奥赛试题解再评析 ·5·