Methods of Mathematical Physics(2016. 1)Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMal@Phys. FDU (x)=y(x) expl p(x)d P2( y +2+2(x) =x3P2(x) +P6(x)+By,(x)hnx 其中p6(x)是解析函数,且a'= a P,(x)+By,(x)Inx=xp, (x)+By,(x)In 其中p2(x)是解析函数,且p2(0)=a2(0)≠0 将P1(x)展为ayor级数p(x)=∑c2x",则方程的第二个解为 y2(x)=x∑c2x+的1(x)hx(B待定,x=x=0正是支点,表述为inx发散) 第二种是特殊情况,即正好∑(2+N-k)+b]=0.此时0c=0, 即cx可为任意有限常数。因此,对m>N的高次幂项,cx1c+2…,可以用co 和cN表示(含两个任意常数);当然低次幂系数c1,C2…,C1仍由c0表示。于 是x(x)=x2∑2x本身就是方程的通解用和表示,前提是c前的系 数正好为0 2.正则解例子:贝塞尔(Bese)方程 B Bessel Eq. x'y+xy+(r2-v2)y 物理应用中,柱对称、球对称 Helmholtz方程v2l()+k2(7)=0在p和或z 方向,角动量磁量子数m=0,土1±2,…,v=m- Bessel I函数( See Chapter13);在r方 向,角动量量子数l取零或正整数,v=l+1/2-球 Bessel函数( See Chapter12); 数学上v当然还可取其它值。我们只讨论v为实数的情况,并设v≥0.我们的目 标是求 Bessel方程在x=0邻域的级数解。p=→ ,q(x) 然,x=0是方程的正则奇点Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 15   p x y x x x x x x p x p x x x x x x x p x p x x x y x y x y x N N s N N s ( ) ( ) ( )ln ( ) ( ) d exp ( )d d ( ) 1 ( ) ( ) 2 1 6 1 2 1 2 5 2 1 2 1 1 1                                            其中 ( ) 6 p x 是解析函数，且     0 N   . y x x p x y x x x p x y x x s N s 2 ( ) 7 ( ) 1 ( )ln 7 ( ) 1 ( )ln 1 2        , 其中 ( ) 7 p x 是解析函数，且 p7 (0)   p2 (0)  0. 将 ( ) 7 p x 展为 Taylor 级数 n n n p x c x    0 (2) 7 ( ) ，则方程的第二个解为 y x x c x y x x n n n s ( ) 1 ( )ln 0 (2) 2 2       (  待定, 0 x x   0 正是支点，表述为 ln x 发散) 第二种是特殊情况，即正好     0. 1  2       N k k k N k a s N k b c 此时 0  cN  0， 即 N c 可为任意有限常数。因此，对 m  N 的高次幂项， cN1 , cN2 ,  ，可以用 0 c 和 N c 表示（含两个任意常数）；当然低次幂系数 1 2 1 c ,c , ,c N N  仍由 0 c 表示。于 是 2 (2) 2 0 ( ) s n n n y x x c x     本身就是方程的通解(用 0 c 和 N c 表示)， 前提是 N c 前的系 数正好为 0. 2. 正则解例子：贝塞尔（Bessel）方程  阶 Bessel Eq.：   0 2 2 2 x y   xy   x  y  . 物理应用中，柱对称、球对称 Helmholtz 方程 2 2    u r k u r ( ) ( ) 0 在  和/或 z 方向，角动量磁量子数 m m      0, 1, 2, , Bessel 函数(See Chapter 13)；在 r 方 向，角动量量子数 l 取零或正整数,     l 1/ 2 球 Bessel 函数(See Chapter 12)； 数学上  当然还可取其它值。我们只讨论  为实数的情况，并设   0. 我们的目 标是求 Bessel 方程在 x  0 邻域的级数解。 x p x 1 ( )  ， 2 2 2 2 2 ( ) 1 . x q x x x      显 然， x  0 是方程的正则奇点