Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@ Phys. FDU cx→,这又是无意义的。换言之,第二个解不能表示成y2(x)=∑cx”的 形式,而由上述定理三给出,即 y2(x)=y(x)[- p(x)dx 因为x(x)=∑ax2,即p(x)=a1x-+a1+a2x+…已知,所以 ∫以(x)dx=hx+c+ax+a2x2+…(c≠是积分常数 →exp-|p(x)dx xp -C1-a1x PI 其中p(x)=exp-c-ax-a2x2-…是解析函数,且p(0)=e-≠0 而在第一个特解y(x)=∑Cx=xP2(x)中,P2(x)=∑cx”是解析函数, 且P2(0)=c0≠0.因此y2(x)=x2p3(x),其中p3(x)=P2(x),且P2(O)≠0 p(x)dx」=x45p1(x) 其中p1(x)=B(x),且P2(0)=[p1(/p2(O)F=e-cy=a≠0 p3(r 由指标方程可知s1+s2=1-a0,且s1-2=N是已知的正整数,所以 y2(x) expI(x p2(x) 将p(x)展开为 Taylor级数,有 P(x)=a+2+.+&r-+ Bx+x"p(x) 其中P(x)是解析函数,且a=P(0)≠0,于是 y y2(x) exp p(x)da +P3(x),Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 14 cN   ，这又是无意义的。换言之，第二个解不能表示成        0 2 2 2 ( ) n n s n y x c x 的 形式，而由上述定理三给出，即 2 1 2 1 1 ( ) ( ) exp ( )d d ( ) y x y x p x x x y x        . 因为     0 ( ) k k k xp x a x ，即 p(x)  a0 x 1  a1  a2 x  已知，所以    1  1  2 2  2 1 ( )d ln 0 p x x x c a x a x a （ c1   是积分常数）.   ( )， 2 1 exp ( )d exp 1 2 1 1 2 0 0 p x x x c a x a x x p x a a                 其中       1   1  1  2 2  2 1 p (x) exp c a x a x 是解析函数，且 1 1 (0) 0 c p e    . 而在第一个特解   ( ) ( ) 2 0 1 1 1 1 y x c x x p x s n n s   n     中，       0 1 2 ( ) n n n p x c x 是解析函数， 且 (1) 2 0 p c (0) 0   . 因此 ( ) ( ) 3 2 2 1 1 y x x p x s  ，其中 ( ) ( ) 2 3 2 p x  p x ，且 p3 (0)  0 . exp ( )d  ( )， ( ) 1 4 2 2 1 0 1 p x x x p x y x a  s     其中 ( ) ( ) ( ) 3 1 4 p x p x p x  ，且 (0) [ (0) / (0)] /[ ] 0 (1) 2 0 2 4 1 2 1      p p p e c  c . 由指标方程可知 1 2 1 a0 s  s   ，且 s1  s2  N 是已知的正整数，所以     exp ( )d ( ) ( ) ( ) 1 4 1 4 1 2 1 2 1 p x x x p x x p x y x s s   N     . 将 ( ) 4 p x 展开为 Taylor 级数，有 ( ) ( ) 5 1 1 4 p x x x x x p x N N N          ， 其中 ( ) 5 p x 是解析函数，且   p4 (0)  0 ，于是 exp ( )d  ( ) ( ) 1 2 1 2 5 1 p x x x x x p x x y x N N              