Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@ Phys. FDU ,c线性表示(即只要递推即可),而最终可以用co表示。这样,除co是 任意常数外,cn(m=12,3…)都可以确定。将这些cn记为c,则得到方程的 个特解y(x)=∑cx 下面讨论s=,时的情况 (1)当s:-s2≠0或正整数,则和上面的讨论一样,可得到方程的另一个特解 因为数学上存在s1≠S2,因此y(x)和y2(x)是线性无关的,从而方程的通解为: y(x)=Ay(x)+ By2(x) (2)物理上当s=S2时,按上面的方法求得的解y2(x)与y1(x)没有本质区别 (线性相关),而第二个解应由上述定理三给出[见下面的诺依曼( Neumann) 函数 S=m=S2=-m=0 的情况] (3)物理上当s1-S2=N(正整数N=123…),即s1=S2+N时,递推公 式(m )变为 2+m)s2+m-1)+a(s2+m)+bkm+∑[1(2+m-k)+bkm=0 由此低次幂系数c1,ck2,…,c1仍可用c表示。但当m=N(fxed)时,上 式cm的系数变为(s2+NXs2+N-1)+a(2+N)+b=S1(-1)+anS1+b=0 于是,递推公式变为 0·c+∑[a1(s2+N-k)+bkx=0 此式首项表明,c无法确定。其实这将出现两种可能: 第一种是普遍情况,即一般地∑[(s2+N-k)+b}x-≠0.那么只能Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 13 m2 c ，…， 0 c 线性表示(即只要递推即可)，而最终可以用 0 c 表示。这样，除 0 c 是 任意常数外， m c m 1,2,3,  都可以确定。将这些 n c 记为 (1) n c ，则得到方程的一 个特解:        0 1 1 1 ( ) n n s n y x c x . 下面讨论 2 s  s 时的情况: （1）当 s1  s2  0 或正整数，则和上面的讨论一样，可得到方程的另一个特解        0 2 2 2 ( ) n n s n y x c x . 因为数学上存在 1 2 s  s ，因此 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是线性无关的，从而方程的通解为： 1 2 y x Ay x By x ( ) ( ) ( ).   （2）物理上当 1 2 s  s 时，按上面的方法求得的解 ( ) 2 y x 与 ( ) 1 y x 没有本质区别 （线性相关），而第二个解应由上述定理三给出[见下面的诺依曼（Neumann） 函数 1 2 s m s m      0 的情况]。 （3）物理上当 s1  s2  N （正整数 N 1,2,3,  ），即 s1  s2  N 时，递推公 式 ( 1,2, ) m  变为   1        0 1 2  2    0 2   0  2       m k m k k m k s m s m a s m b c a s m k b c . 由此低次幂系数 N1 c ， N2 c ，…， 1 c 仍可用 0 c 表示。但当 m  N (fixed)时，上 式 m c 的系数变为 s2  Ns2  N 1 a0 s2  N b0  s1 s1 1 a0 s1  b0  0. 于是，递推公式变为 0     0 1   2       N k N k k N k c a s N k b c . 此式首项表明， N c 无法确定。其实这将出现两种可能： 第一种是普遍情况，即一般地     0. 1  2       N k k k N k a s N k b c 那么只能