Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@ Phys. FDU 并且a和b(k=012…)已知。设方程的解为y(x)=∑cx [s为待定常数,c1=c2=…=0,如果s<0就有奇异性。也可能此形式的解仅有 个,例如y(x)解。另一个是具有其它形式奇异性的,例如y2(x)解]。首先将 y(x)=∑cnx,y(x)=∑(n+s)nx",y(x)=∑(n+sn+s-1)cnx"2 代入方程,则有 ∑(+n+s-1knx+∑ax∑(n+kx+∑bx∑cnx=0 然后尽量将各同次幂项合并,ie ∑x"(n+s)(n+s-1)+∑x'a(n+s)+b]}cn=0 由最低次幂x项的系数为零可得 s(s-1)+as+bk=0,即s2-(1-a)s+b=0 此式称为指标方程( indicial equation).它是一个二次方程,有两个根s和s2( 阶常微分方程在正则奇点附近有两个指标)。显然(韦大 theorem):s1+s2=1-a0, s1·s2=b,不妨设Res1≥Res2,由任意的xm(m≥1)的系数和为零得, s+m)s+m-1)+a6(s+m)+b}km+∑[(+m-k)+b]m=0 这是递推公式(其中,首项n=m,后一项令了n=m-k,因而是xm的系数)。当取 较大数目=S1所对应的y(x)=y(x)=x∑cnx”时, (s1+m)s;+m-1)+an(s1+m)+b0≠0 [这是因为:如果此式等于0,则表明S3=S+m也是指标方程的根,并且有 Re(S+m)>Res.又因为我们已经设Res≥Res2,这样方程就有三个根了,ie, s1,s2&S3=S1+m,这是不可能的]。所以任意m的cn可以用低次幂系数cm1,Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 12 并且 k a 和 ( 0,1,2, ) k b k  已知。设方程的解为 ( ) , 0      n n s n y x c x c0  0 [ s 为待定常数, 1 2 c c 0,      如果 s  0, 就有奇异性。也可能此形式的解仅有 一个，例如 1 y x( ) 解。另一个是具有其它形式奇异性的，例如 2 y x( ) 解]。首先将 0 ( ) , n s n n y x c x     1 0 '( ) ( ) , n s n n y x n s c x        2 0 ''( ) ( )( 1) n s n n y x n s n s c x          代入方程，则有   1   0 0 0 0 0 0                        k n n s n k k k n n s n k k n n s n n s n s c x a x n s c x b x c x . 然后尽量将各同次幂项合并，i.e.    0 0 { 1 [ ( ) ]} 0, n s k k k n n k x n s n s x a n s b c               由最低次幂 s x 项的系数为零可得   0 0 0 [ 1 ] 0 s s a s b c     ，即 1 0  0 0 2 s   a s  b  . 此式称为指标方程（indicial equation）. 它是一个二次方程，有两个根 1 s 和 2 s （二 阶常微分方程在正则奇点附近有两个指标）。显然(韦大 theorem): 1 2 1 a0 s  s   ， 1 2 b0 s s  . 不妨设 Re 1 Re 2 s  s . 由任意的 s m x  （ m 1 ）的系数和为零得，   1        0 1     0   0        m k m k k m k s m s m a s m b c a s m k b c . 这是递推公式(其中，首项 n  m,后一项令了 n m k   , 因而是 s m x  的系数)。当取 较大数目 1 s  s 所对应的      0 1 1 ( ) ( ) n n n s y x y x x c x 时， s1  ms1  m 1 a0 s1  m b0  0 [这是因为：如果此式等于 0，则表明 s3  s1  m 也是指标方程的根，并且有 Re Re s m s 1 1   . 又因为我们已经设 Re 1 Re 2 s  s ，这样方程就有三个根了，i.e., 1 2 3 1 s s s s m , &   ,这是不可能的]。所以任意 m 的 m c 可以用低次幂系数 m1 c