Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@ Phys. FDU 令csom=1-2++(=) (2k) sIn or=D、 r++ k+1) 因为 cos ot和 sin ot是线性无关的两个解,因此方程的通解为 B 其中常数A=a,B=o a由初始条件决定 说明:(1)不是所有方程都有x的幂级数形式的解。具体问题具体分析。 (2)如果方程有这样形式的解,我们可以用此方法找到 (3)一个微分方程vs无穷多个代数方程组,那一类好解?数值解 代数方程组,不但快速而且准确。 (4)级数解源于计算机解法还是计算机算法原理源于级数解? 三、正则奇点邻域方程的级数解 1.富克斯( Fuchs)定理: 如果x=x0为方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)(x)=0的正则奇点,即函数 (x-x0)p(x)和(x-x0)2q(x)在x-x<R内解析,那么该方程在0x-xkR内 有如下正则解:(x=x亦是方程解的奇点,即有有限阶 Laurent级数展开) y(x)=(x-x)∑c(x-xy y2(x)=(x-xo)Eca(x-xor+By.(x)In(x-xo [B待定,h(x-x)发散较弱,当系数函数p和q不满足 Fuchs定理的条件时,解 函数的发散性将强于h(x-x),这超出本课程范围] 证明:令x=0(位移简之),以x2乘方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)(x)=0得 x y(x)+x p(x)y(x)+x g(x)y(x)=0 因为函数x(x)和x2q(x)在<R内解析并且已知,可以将它们展为泰勒级数: xpx akx,x q( 11Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 11 令     2 2 2 2 1 cos 1 2! 2 ! k k k t t t k              3 2 1 3 2 1 1 sin 3! 2 1 ! k k k t t t t k              因为 cost 和 sint 是线性无关的两个解，因此方程的通解为 y t A t B t ( ) cos sin     ， 其中常数 A  a0，  a1 B  由初始条件决定。 说明：（1）不是所有方程都有 x 的幂级数形式的解。具体问题具体分析。 （2）如果方程有这样形式的解，我们可以用此方法找到。 （3）一个微分方程 vs.无穷多个代数方程组，那一类好解？数值解 代数方程组，不但快速而且准确。 （4）级数解源于计算机解法还是计算机算法原理源于级数解？ 三、 正则奇点邻域方程的级数解 1. 富克斯（Fuchs）定理： 如 果 0 x x  为方程 y (x)  p(x)y (x)  q(x)y(x)  0 的 正 则 奇 点 ， 即 函 数   ( ) 0 x  x p x 和   ( ) 2 0 x  x q x 在 x  x0  R 内解析，那么该方程在 0 0 | |    x x R 内 有如下正则解：（ 0 x x  亦是方程解的奇点，即有有限阶 Laurent 级数展开）                                0 1 0 0 (2) 2 0 0 0 (1) 1 0 ( ) ( )ln ( ) 2 1 y x x x c x x y x x x y x x x c x x n n n s n n n s  [  待定,   0 ln x  x 发散较弱，当系数函数 p 和 q 不满足 Fuchs 定理的条件时，解 函数的发散性将强于   0 ln x  x ，这超出本课程范围]。 证明：令 x0  0 (位移,简之)，以 2 x 乘方程 y (x)  p(x)y (x)  q(x)y(x)  0 得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 x y  x  x p x y  x  x q x y x  . 因为函数 xp(x) 和 ( ) 2 x q x 在 x  R 内解析并且已知，可以将它们展为泰勒级数： ( ) , 0     k k k xp x a x ( ) , 0 2     k k k x q x b x