《现代控制理论基础》第四章(讲义) d()=A”+ +an=0 我们用式(4.15)来推导爱克曼公式。为简化推导,考虑n=3的情况。对任意正整数, 下面的推导可方便地加以推广 考虑下列恒等式 A=A-BK A2=(A-BK)2=A2-ABK-BKA A=(A-BK)=A-A BK-ABKA-BKA2 将上述方程分别乘以a3a2,a,a(a=1),并相加,则可得 altaa+aa2+as a31+a2(A- BK)+a, (A -- BKA)+A A- BK-ABKA- BKA (4.16) a3 I+a2A+aA2+A'-a2 BK-aABK-a, BKA--A2BK ABKA-BKA2 参照式(4.15)可得 +a2A+a1A2+A3=(A) 也可得到 A+a1A2+A=p(4)≠0 将上述最后两式代入式(4.16),可得 P(A)=P(A)-a BK-a BKA-BKA2-a' ABK-ABKA-A2BK 由于p(A)=0,故 P(A)=B(a,K+a,KA+KA)+AB(a,K+KA)+A BK a2K+a,KA+KA2 (4.17) [B: AB:A'B] a,k+ Ka 由于系统是状态完全能控的,所以能控性矩阵 O=[B: AB:A B] 的逆存在。在式(4.17)的两端均左乘能控性矩阵Q的逆,可得 +aka+Ka [B: AB:AB]-P(A) a,K+KA K《现代控制理论基础》第四章(讲义) 0 ~ ~ ~ ) ~ ( * * 1 * 1 = + 1 + + − + = − A A a A a A a I n n  n n  (4.15） 我们用式（4.15）来推导爱克曼公式。为简化推导，考虑 n = 3 的情况。对任意正整数， 下面的推导可方便地加以推广。 考虑下列恒等式 3 3 3 2 2 2 2 2 ~ ~ ( ) ~ ~ ( ) ~ ~ A A BK A A BK ABKA BKA A A BK A ABK BKA A A BK I I = − = − − − = − = − − = − = 将上述方程分别乘以 , , , ( 1) * 0 * 0 * 1 * 2 * a3 a a a a = ，并相加，则可得 2 * 2 1 * 1 * 2 * 2 3 1 * 2 * 3 2 2 * 2 3 1 * 2 * 3 * 2 3 1 * 2 * 3 ~ ~ ~ ~ ~ ) ~ ( ) ( ~ ~ ~ ABKA BKA a I a A a A A a BK a ABK a BKA A BK A BK ABKA BKA a I a A BK a A ABK BKA A a I a A a A A − − = + + + − − − − − − − − = + − + − − + + + + （4.16） 参照式（4.15）可得 ) 0 ~ ( ~ * ~2 ~3 1 * 2 * a3 I + a A + a A + A =  A = 也可得到 ( ) 0 * 2 3 1 * 2 * a3 I + a A + a A + A =  A  将上述最后两式代入式（4.16），可得 A A a BK a BKA BKA a ABK ABKA A BK * 2 1 * 2 1 * 2 ~ ~ ~ ) ( ) ~ ( =  − − − − − − 由于 ) 0 ~ (A = ，故             + + + = = + + + + + K a K KA a K a KA KA B AB A B A B a K a KA KA AB a K KA A BK ~ ~ ~ [ ] ) ~ ) ( ~ ~ ( ) ( * 1 * 2 1 * 2 2 * 2 1 * 2 1 * 2    （4.17） 由于系统是状态完全能控的，所以能控性矩阵 [ ] 2 Q = B  AB A B 的逆存在。在式（4.17）的两端均左乘能控性矩阵 Q 的逆，可得             + + + = − K a K KA a K a KA KA B AB A B A ~ ~ ~ [ ] ( ) * 1 * 2 1 * 2 2 1   