《现代控制理论基础》第四章(讲义) -1)s-2) 并确定出a1,a2,,a的值 第5步:此时的状态反馈增益矩阵K为 K=la P 4.2.4注释 注意,如果是低阶系统(n≤3),则将线性反馈增益矩阵K直接代入期望的特征多项式, 可能更为简便。例如,若n=3,则可将状态反馈增益矩阵K写为 K=[k1k2k3] 进而将该矩阵K代入期望的特征多项式-A+B,使其等于(s-1)s-2)s-3), s-A+B=(-H1Xs-12Xs-3) 由于该特征方程的两端均为s的多项式,故可通过使其两端的s同次幂系数相等,来确 定A,R2,R3的值。如果n=2或者n=3,这种方法非常简便(对于n=4,5,6,…,这种 方法可能非常繁琐)。 还有其他方法可确定状态反馈增益矩阵K。下面介绍著名的爱克曼公式,可用来确定状 态反馈增益矩阵K。 4.2.5爱克曼公式( Ackermann's formula) 考虑由式(4.1)给出的系统,重写为 =Ax+ Bu 假设该被控系统是状态完全能控的,又设期望闭环极点为s=1,S=μ2,…S=μn 利用线性状态反馈控制律 u=-Kx 将系统状态方程改写为 x=(A-BK)x (4.14) 定义 A=A-BK 则所期望的特征方程为 -A+BK|=-=(s-A1s-2)(s-,) a=0 由于凯莱-哈密尔顿定理指出A应满足其自身的特征方程,所以《现代控制理论基础》第四章(讲义)   −  − − − − = + + + n + n n n s s s n s a s a 1 s a 1 1 2 1 （  （)  )（  )  并确定出    a a an , , , 1 2  的值。 第 5 步：此时的状态反馈增益矩阵 K 为 1 1 1 2 2 1 1 [ ]   − −  −  K = an − an  an − an    a − a  a − a P 4.2.4 注释 注意，如果是低阶系统（n ≤3），则将线性反馈增益矩阵 K 直接代入期望的特征多项式， 可能更为简便。例如，若 n = 3，则可将状态反馈增益矩阵 K 写为   1 2 3 K = k k k 进而将该矩阵 K 代入期望的特征多项式 sI − A+ BK ，使其等于 ( )( )( ) − 1 −  2 − 3 s s s ， 即 ( )( )( ) − + = − 1 − 2 − 3 sI A BK s s s 由于该特征方程的两端均为 s 的多项式，故可通过使其两端的 s 同次幂系数相等，来确 定 k1，k2，k3 的值。如果 n = 2 或者 n = 3，这种方法非常简便（对于 n =4,5,6,…，这种 方法可能非常繁琐）。 还有其他方法可确定状态反馈增益矩阵 K。下面介绍著名的爱克曼公式，可用来确定状 态反馈增益矩阵 K。 4.2.5 爱克曼公式(Ackermann’s Formula) 考虑由式（4.1）给出的系统，重写为 x  = Ax + Bu 假设该被控系统是状态完全能控的，又设期望闭环极点为 n s = 1 ,s =  2 ,  ,s =  。 利用线性状态反馈控制律 u = −Kx 将系统状态方程改写为 x  = (A − BK)x (4.14) 定义 A = A − BK ~ 则所期望的特征方程为： 0 ( )( ) ( ) ~ 1 1 1 1 2 = + + + + = − + = − = − − −   −  − n n n n n s a s a s a sI A BK sI A s s s      由于凯莱-哈密尔顿定理指出 A ~ 应满足其自身的特征方程，所以