《现代控制理论基础》第四章(讲义) 0 0 (4.12) s+a,+d =s"+(a1+1)s+…+(an1+δn)s+(an+n)=0 这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程,它一定与式(4.10)的期望特征方程相 等。通过使s的同次幂系数相等,可得 a1+61=a1 a2 an+δn=an 对δi求解上述方程组,并将其代入式(4.11),可得 K=KP-=[8, On-1 ,P (.13) [an-an: an--a 因此,如果系统是状态完全能控的,则通过对应于式(4.13)所选取的矩阵A,可任意 配置所有的特征值 证毕 4.2.3极点配置的算法 现在考虑单输入单输出系统极点配置的算法 给定线性定常系统 dx+ Bu 若线性反馈控制律为 Kx 则可由下列步骤确定使A-B的特征值为μ1,μ2,…,μ。(即闭环系统的期望极点值)的 线性反馈矩阵K(如果μi是一个复数特征值,则其共轭必定也是A-B的特征值) 第1步:考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的,则可按下列步骤继续。 第2步:利用系统矩阵A的特征多项式 det(sl-A)=[sl-A="+a,s-+.+am-5+a 确定出a1,a2…,an的值 第3步:确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是 能控标准形,那么P=I。此时无需再写出系统的能控标准形状态方程。非奇异线性变换矩 阵P可由式(4.4)给出,即 P=OI 式中Q由式(4.5)定义,W由式(4.6)定义。 第4步:利用给定的期望闭环极点,可写出期望的特征多项式为《现代控制理论基础》第四章(讲义) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + + = + + + + − = − − − − − n n n n n n n n n n s a s a s a a a s a s s              (4.12) 这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程，它一定与式（4.10）的期望特征方程相 等。通过使 s 的同次幂系数相等，可得    + = + = + = n n n a a a a a a     2 2 2 1 1 1 对δi 求解上述方程组，并将其代入式（4.11），可得 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 [ ] [ ] ˆ   − −  −  − − − = − − − − = = a a a a a a a a P K KP P n n n n n n          (4.13) 因此，如果系统是状态完全能控的，则通过对应于式（4.13）所选取的矩阵 K，可任意 配置所有的特征值。 证毕 4.2.3 极点配置的算法 现在考虑单输入单输出系统极点配置的算法。 给定线性定常系统 x  = Ax + Bu 若线性反馈控制律为 u = −Kx 则可由下列步骤确定使 A-BK 的特征值为μ1，μ2，…,μn（即闭环系统的期望极点值）的 线性反馈矩阵 K（如果μi 是一个复数特征值，则其共轭必定也是 A-BK 的特征值）。 第 1 步：考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的，则可按下列步骤继续。 第 2 步：利用系统矩阵 A 的特征多项式 n n n n sI − A = sI − A = s + a s + + a − s + a − 1 1 1 det( )  确定出 a a an , , , 1 2  的值。 第 3 步：确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵 P。若给定的状态方程已是 能控标准形，那么 P = I。此时无需再写出系统的能控标准形状态方程。非奇异线性变换矩 阵 P 可由式（4.4）给出，即 P = QW 式中 Q 由式（4.5）定义，W 由式（4.6）定义。 第 4 步：利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为