《现代控制理论基础》第四章(讲义) 0 0 0 0 A=PAP 0 a -a B=P-B 式(48)和(49)的推导见例48和例49。式(4.7)为能控标准形。这样,如果系统是状 态完全能控的,且利用由式(44)给出的变换矩阵P,使状态向量x变换为状态向量x,则 可将式(4.1)变换为能控标准形。 选取一组期望的特征值为μ1,μ2,…,n,则期望的特征方程为 (s-/1)s-2)…(s-n)=s"+a1s"+an-1s+an=0 设 K KP=88 6] 由于=-K=-KB,从而由式(4.7),此时该系统的状态方程为 Ax-B Kx 相应的特征方程为 -4+BN=0 事实上,当利用u=-Kx作为控制输入时,相应的特征方程与式(4.11)的特征方程 相同,即非奇异线性变换不改变系统的特征值。这可简单说明如下。由于 该系统的特征方程为 /-A+BK= p"(sl-A+ BK)P)=lsl-P-AP+P-BKP[=1s1-A+BK=0 对于上述能控标准形的系统特征方程,由式(4.8)、(4.9)和(4.11),可得 0 -4+B 1]《现代控制理论基础》第四章(讲义)                 − − − − = = − − − 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 a a a a A P AP n n n c         (4.8)                 = = − 1 0 0 0 1 B P B  c (4.9) 式（4.8）和（4.9）的推导见例 4.8 和例 4.9。式（4.7）为能控标准形。这样，如果系统是状 态完全能控的，且利用由式（4.4）给出的变换矩阵 P，使状态向量 x 变换为状态向量 x ˆ ，则 可将式(4.1）变换为能控标准形。 选取一组期望的特征值为μ1，μ2，…，μn，则期望的特征方程为 ( )( ) ( ) 1 0 1 − 1 − 2 − = + 1 + − + = − n n n n s  s   s  n s a s a s a (4.10) 设 [ ] ˆ K = KP =  n  n−1   1 (4.11) 由于 u Kx ˆ KPx ˆ = − ˆ = − ，从而由式(4.7)，此时该系统的状态方程为 x A x B Kx c c ˆ ˆ ˆ = ˆ −  相应的特征方程为 0 sI − Ac + BcK ˆ = 事实上，当利用 u = −Kx 作为控制输入时，相应的特征方程与式（4.11）的特征方程 相同，即非奇异线性变换不改变系统的特征值。这可简单说明如下。由于 x  = Ax + Bu = (A − BK)x 该系统的特征方程为 0 ˆ ( ) 1 1 1 − + = − + = − + = − + = − − − sI A BK P sI A BK P sI P AP P BKP sI Ac BcK 对于上述能控标准形的系统特征方程，由式（4.8）、(4.9)和（4.11），可得 [ ] 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ˆ 1 1 1 1            − −             +             − − − − + = − n n n n c c a a a sI A B K sI