教学内容 旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直 线叫做旋转轴 圆柱 圆锥 圆台 ˉ般地,如果旋转体是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的 曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体,体积为多少? y=f(r) 0 取积分变量为x,x∈[a,b],在[a,b上任取小区间[x,x+dx],取以ax为底的 窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素,d=m[f(x)]dx 旋转体的体积为=n(x)d 例1连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角 形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体,计算圆锥体的体积 解:直线OP方程为y=x,取积分变量为x,x∈[0万 在[a,b]上任取小区间[x,x+ax],以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的2 教 学 内 容 一、旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直 线叫做旋转轴． 一般地，如果旋转体是由连续曲线 y = f (x) 、直线 x = a、 x = b 及 x 轴所围成的 曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为 x ， x[a,b] ，在 [a,b] 上任取小区间 [x, x + dx] ，取以 dx 为底的 窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积为体积元素， dV f x dx 2 = [ ( )] 旋转体的体积为 V f x dx b a 2 [ ( )]  =  例 1 连接坐标原点 O 及点 P(h,r) 的直线、直线 x = h 及 x 轴围成一个直角三角 形．将它绕 x 轴旋转构成一个底半径为 r 、高为 h 的圆锥体，计算圆锥体的体积． 解：直线 OP 方程为 x h r y = ，取积分变量为 x ， x[0,h] 在 [a,b] 上任取小区间 [x, x + dx] ，以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的 y r h P x o 圆柱 圆锥 圆台 x y o x x + dx y = f (x)